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物探与化探  2023, Vol. 47 Issue (5): 1316-1325    DOI: 10.11720/wtyht.2023.1605
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基于B样条插值的瞬变电磁响应一维精确计算
邢涛1(), 王垚2, 李建慧2,3()
1.北京探创资源科技有限公司,北京 100071
2.中国地质大学(武汉) 地球物理与空间信息学院,湖北 武汉 430074
3.中国地质大学(武汉) 地质过程与矿产资源国家重点实验室,湖北 武汉 430074
One-dimensional accurate calculation of transient electromagnetic responses based on B-spline interpolation
XING Tao1(), WANG Yao2, LI Jian-Hui2,3()
1. Beijing Tanchuang Resources Technology Co., Ltd., Beijing 100071, China
2. School of Geophysics and Geomatics, China University of Geosciences (Wuhan), Wuhan 430074, China
3. State Key Laboratory of Geological Processes and Mineral Resources, China University of Geosciences (Wuhan), Wuhan 430074, China
全文: PDF(4095 KB)   HTML
输出: BibTeX | EndNote (RIS)      
摘要 

基于频谱法的瞬变电磁法一维正演策略中,多个计算环节对瞬变电磁响应计算精度有重要影响。为了提高一维正演效率,通常只直接计算数十个频点的频率域电磁响应,再采用三次样条插值将频率域电磁响应扩展至数百个频点。尽管三次样条插值函数计算的数值结果已能满足大多数正演需求,但其计算精度仍有提升空间。本文将高次B样条插值引入至瞬变电磁法一维正演,用于代替传统三次样条插值,并以磁偶源和圆形回线源为例验证了方法准确性。结果表明,对于多个地电模型,基于高次B样条插值计算的瞬变电磁响应精度均优于基于传统三次样条的计算结果。
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邢涛
王垚
李建慧
关键词 ： 瞬变电磁法,  一维正演,  B样条插值    
Abstract：

In the one-dimensional (1D) forward modeling of transient electromagnetic (TEM) responses based on spectral methods, multiple calculation steps significantly influence the calculation accuracy of TEM responses. To improve the efficiency of 1D forward modeling, the common practice is to directly calculate the frequency-domain electromagnetic responses of dozens of frequency points and then obtain the responses of hundreds of frequency points through cubic spline interpolation. Although the numerical results calculated using the cubic spline interpolation function can meet the requirements of most forward modeling scenarios, their accuracy can be further improved. This study introduced high-order B-spline interpolation into the 1D forward modeling of TEM responses to replace the conventional cubic spline interpolation and verified the accuracy of the method based on magnetic dipole sources and circle-shaped loop sources. The results show that the TEM responses of several geoelectric models calculated based on high-order B-spline interpolation exhibit higher accuracy than those calculated using conventional cubic spline interpolation.
Key words： transient electromagnetics    one-dimensional forward modeling    B-spline interpolation
收稿日期: 2022-12-09      修回日期: 2023-04-18      出版日期: 2023-10-20
ZTFLH:  P631  
基金资助:国家自然科学基金(42022030)
通讯作者: 李建慧
作者简介: 邢涛(1983-),男,硕士,高级工程师,长期从事地球物理勘探方面的研究工作。Email:156663062@qq.com
引用本文:   
邢涛, 王垚, 李建慧. 基于B样条插值的瞬变电磁响应一维精确计算[J]. 物探与化探, 2023, 47(5): 1316-1325.
XING Tao, WANG Yao, LI Jian-Hui. One-dimensional accurate calculation of transient electromagnetic responses based on B-spline interpolation. Geophysical and Geochemical Exploration, 2023, 47(5): 1316-1325.
链接本文:  
https://www.wutanyuhuatan.com/CN/10.11720/wtyht.2023.1605      或      https://www.wutanyuhuatan.com/CN/Y2023/V47/I5/1316
Fig.1  瞬变电磁法一维正演技术路线
Fig.2  每数量级5个频点计算条件下垂直磁偶源位于1 000 Ω·m均匀半空间表面激发的磁场脉冲响应
a—三次B样条数值解;b—三次B样条相对误差曲线;c—五次B样条相对误差曲线;d—七次B样条相对误差曲线
插值算法 平均误差率/%
4频点 5频点 6频点 7频点 8频点 9频点
传统三次样条 9.08×10-1 5.27×10-1 3.75×10-1 2.60×10-1 3.21×10-1 2.19×10-1
三次B样条 9.11×10-1 5.54×10-1 3.68×10-1 2.70×10-1 3.10×10-1 2.17×10-1
四次B样条 7.20×10-1 4.02×103 1.50×102 1.00×101 6.22×10-2 3.01×10-2
五次B样条 6.53×10-2 2.74×10-2 1.28×10-2 3.70×10-2 5.71 6.31×101
六次B样条 1.03×103 5.61×10-1 4.46×10-3 2.03×10-3 1.65×10-3 1.29×10-3
七次B样条 1.53×10-2 4.22×10-3 2.65×102 1.15 3.47×10-4 3.64×10-4
八次B样条 4.03×101 1.26 9.43×10-4 2.16×10-2 1.08×103 1.53
九次B样条 4.13 1.81×10-3 2.57×101 3.72×10-3 2.52×10-4 2.89×10-4
Table 1  垂直磁偶源位于1 000 Ω·m均匀半空间时不同插值算法产生的平均误差率
插值算法 最大相对误差/%
4频点 5频点 6频点 7频点 8频点 9频点
传统三次样条 1.81 1.09 7.24×10-1 4.57×10-1 6.98×10-1 8.82×10-1
三次B样条 1.93 1.06 6.89×10-1 5.50×10-1 6.66×10-1 9.21×10-1
四次B样条 1.38 2.60×104 1.59×103 1.12×102 6.56×10-1 1.26×10-1
五次B样条 1.31×10-1 5.60×10-2 2.50×10-2 1.01×10-1 2.17×101 5.25×102
六次B样条 5.19×103 7.74 3.39×10-2 1.17×10-2 9.84×10-3 6.47×10-3
七次B样条 9.31×10-2 1.08×10-2 2.36×103 1.35×101 1.62×10-3 1.81×10-3
八次B样条 1.48×102 1.82×101 1.47×10-2 5.29×10-2 9.53×103 1.36×101
九次B样条 4.77×101 8.67×10-3 1.62×102 4.68×10-2 5.12×10-3 2.08×10-3
Table 2  垂直磁偶源位于1000 Ω·m均匀半空间时不同插值算法产生的最大相对误差
Fig.3  每数量级5个频点计算条件下垂直磁偶源位于1 Ω·m均匀半空间表面激发的磁场脉冲响应
a—三次B样条数值解;b—三次B样条相对误差曲线;c—五次B样条相对误差曲线;d—七次B样条相对误差曲线
插值算法 平均误差率/%
4频点 5频点 6频点 7频点 8频点 9频点
传统三次样条 1.71 5.59×10-1 3.11×10-1 1.82×10-1 5.64×10-2 5.69×10-2
三次B样条 1.21×101 7.83×10-1 3.16×10-1 1.49×10-1 7.80×10-2 5.66×10-2
四次B样条 4.76×10-1 8.95 7.80×10-1 1.03×10-1 2.40×10-2 1.42×10-2
五次B样条 1.02 7.57×10-2 3.21×10-2 1.46×10-2 1.07×10-2 4.93×10-2
六次B样条 4.31×101 1.08 3.12×10-2 5.84×10-3 1.36×10-3 9.76×10-4
七次B样条 1.55 5.09×10-2 1.33 2.11×10-2 8.84×10-4 3.44×10-4
八次B样条 3.54 8.14×10-1 1.09×10-2 1.00×10-3 6.33×10-2 4.56×10-4
九次B样条 8.00 3.74×10-2 2.78×10-1 1.13×10-3 2.54×10-4 4.82×10-5
Table 3  垂直磁偶源位于1 Ω·m均匀半空间时不同插值算法产生的平均误差率
插值算法 最大相对误差/%
4频点 5频点 6频点 7频点 8频点 9频点
传统三次样条 4.85 3.49 2.63 1.37 2.35×10-1 3.78×10-1
三次B样条 1.08×102 4.13 2.32 1.54 4.11×10-1 3.30×10-1
四次B样条 3.87 1.32×102 8.80 6.70×10-1 1.80×10-1 9.19×10-2
五次B样条 3.60 4.80×10-1 2.02×10-1 1.45×10-1 8.59×10-2 5.62×10-1
六次B样条 6.46×102 8.81 1.80×10-1 6.33×10-2 8.03×10-3 9.17×10-3
七次B样条 8.70 3.74×10-1 1.72×101 1.62×10-1 6.13×10-3 3.09×10-3
八次B样条 4.44×101 6.69 3.85×10-2 7.31×10-3 8.12×10-1 3.63×10-3
九次B样条 8.02×101 1.72×10-1 3.32 3.87×10-3 1.65×10-3 2.44×10-4
Table 4  垂直磁偶源位于1 Ω·m均匀半空间时不同插值算法产生的最大相对误差
Fig.4  每数量级5个频点计算条件下圆形回线位于1 000 Ω·m均匀半空间表面激发的磁场脉冲响应
a—三次B样条数值解;b—三次B样条相对误差曲线;c—五次B样条相对误差曲线;d—七次B样条相对误差曲线
插值算法 平均误差率/%
4频点 5频点 6频点 7频点 8频点 9频点
传统三次样条 9.04×10-1 5.41×10-1 3.73×10-1 3.18×10-1 4.41×10-1 1.86×10-1
三次B样条 1.41 9.90×10-1 8.59×10-1 7.32×10-1 8.65×10-1 7.36×10-1
四次B样条 2.83 6.24×103 2.21×103 1.28×102 2.92 4.89×10-2
五次B样条 5.75×10-2 2.77×10-2 1.59×10-2 4.41×10-1 3.23×102 7.69×104
六次B样条 4.25×103 7.34 8.54×10-3 3.98×10-3 1.36×10-2 4.44×10-3
七次B样条 1.99×10-2 1.19×10-2 3.45×103 1.54×101 9.40×10-3 4.12×10-3
八次B样条 7.38×101 1.96×101 5.72×10-3 2.44×10-1 7.07×104 3.71×101
九次B样条 6.33 1.29×10-2 4.33×102 4.77×10-2 1.32×10-2 5.25×10-3
Table 5  圆形回线位于1 000 Ω·m均匀半空间时不同插值算法产生的平均误差率
插值算法 最大相对误差/%
4频点 5频点 6频点 7频点 8频点 9频点
传统三次样条 2.57 1.02 7.66×10-1 5.90×10-1 1.75 4.51×10-1
三次B样条 7.46 2.82 2.86 2.92 2.41 2.47
四次B样条 5.16 4.05×104 2.36×104 1.46×103 5.07×101 4.04×10-1
五次B样条 1.17×10-1 1.07×10-1 7.81×10-2 9.37×10-1 1.34×103 4.66×105
六次B样条 2.06×104 7.51×101 8.01×10-2 7.54×10-2 2.28×10-1 4.39×10-2
七次B样条 1.93×10-1 1.35×10-1 3.00×104 1.92×102 1.62×10-1 4.46×10-2
八次B样条 2.92×102 1.98×102 7.46×10-2 4.25×10-1 6.04×105 4.61×102
九次B样条 7.23×101 1.00×10-1 5.02×103 7.35×10-1 2.34×10-1 4.21×10-2
Table 6  圆形回线位于1 000 Ω·m均匀半空间时不同插值算法产生的最大相对误差
Fig.5  每数量级5频点计算条件下圆形回线位于1 Ω·m均匀半空间表面激发的磁场脉冲响应
a—三次B样条数值解;b—三次B样条相对误差曲线;c—五次B样条相对误差曲线;d—七次B样条相对误差曲线
插值算法 平均误差率/%
4频点 5频点 6频点 7频点 8频点 9频点
传统三次样条 6.14×10-1 3.23×10-1 2.07×10-1 1.26×10-1 1.21×10-1 5.65×10-2
三次B样条 1.02 3.55×10-1 1.96×10-1 1.26×10-1 1.17×10-1 5.67×10-2
四次B样条 1.45×10-1 2.81×10-1 4.03×10-2 2.19×10-2 1.70×10-2 7.16×10-3
五次B样条 1.75×10-1 2.46×10-2 1.05×10-2 4.96×10-3 6.48×10-3 7.58×10-2
六次B样条 2.07 4.60×10-2 4.76×10-3 1.42×10-3 7.26×10-4 2.12×10-4
七次B样条 1.84×10-1 6.60×10-3 1.54×10-2 1.62×10-3 2.52×10-4 6.78×10-5
八次B样条 1.15×10-1 3.40×10-2 1.22×10-3 2.43×10-4 5.44×10-2 3.00×10-5
九次B样条 3.25×10-1 5.25×10-3 8.17×10-4 4.29×10-4 4.50×10-5 1.08×10-5
Table 7  圆形回线位于1 Ω·m均匀半空间时不同插值算法产生的平均误差率
插值算法 最大相对误差/%
4频点 5频点 6频点 7频点 8频点 9频点
传统三次样条 1.88 9.94×10-1 6.83×10-1 4.15×10-1 5.90×10-1 2.82×10-1
三次B样条 5.34 1.03 7.21×10-1 4.86×10-1 5.75×10-1 2.50×10-1
四次B样条 3.57×10-1 3.29 1.09×10-1 5.52×10-2 6.24×10-2 3.16×10-2
五次B样条 6.67×10-1 5.16×10-2 2.52×10-2 1.02×10-2 6.00×10-2 8.42×10-1
六次B样条 2.65×101 3.43×10-1 1.40×10-2 2.55×10-3 2.22×10-3 9.95×10-4
七次B样条 1.16 2.72×10-2 1.81×10-1 1.07×10-2 5.10×10-4 2.07×10-4
八次B样条 1.15 2.93×10-1 7.41×10-3 1.08×10-3 6.67×10-1 8.09×10-5
九次B样条 3.41 3.01×10-2 5.73×10-3 1.91×10-3 1.64×10-4 3.27×10-5
Table 8  圆形回线位于1 Ω·m均匀半空间时不同插值算法产生的最大相对误差
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