0 引言
国内外的许多学者对地震数据的插值方法进行了研究。李庆忠[9-10]对地震信号的内插与噪声剔除进行了研究,提出了一维情况下信号内插的最佳内插算子以及在空间域较彻底剔除干扰波的检噪算子,并将其推广到二维情况,讨论了二维F-K域中的信号内插及噪声剔除技术。Spitz[11]提出了F-X域预测技术实现道内插的方法,该方法尽管有许多优点,但是仍然存在计算量大、精度较低等问题。国九英[6,7]对F-X域道内插的方法进行了改进,并提出了一种新的F-X域实现道内插的方法,该方法在存在严重空间假频时,仍然可以得到较好的内插效果。Wang[12]提出了基于小波变换的地震记录插值方法,该方法能够有效地消除假频并拓展地震信号的频宽。Hindriks、Duijnda[13,14]将非均匀傅里叶变换应用于地震数据的插值处理,有效地克服了地震数据中的假频问题。高静怀、王西文[15,16,17]等对地震资料处理中小波函数的选取问题进行了研究,提出能否选出接近地震子波的小波函数是决定利用小波变换处理地震资料成功与否的关键。Porsani[18]提出半步预测滤波方法提高了地震信号插值的计算效率。Herrmann、Hennenfen[19,20,21]等将曲波变换应用于地震插值,取得了较好效果。Candes、Donoh[22,23]等将压缩感知理论应用于地震插值。张华[24]提出了地震信号去噪的最优小波基选取方法,利用最优小波基对地震信号进行去噪处理可以有效提高地震信号的信噪比和分辨率。周聪[8]将线性动校正引入到面波插值过程中,一定程度上消除了假频现象,提高了频率速度谱的信噪比。Mohammad[25]提出数据驱动字典学习的方法对二维地震数据同时进行去噪和插值处理,有效提高了地震信号的信噪比。Kim[26]提出了基于POCS算法的曲波变换三维地震数据插值方法,有效地降低了数据计算量,提高了三维地震数据的空间采样率。
利用小波变换对地震面波数据进行插值处理时,使用不同的小波基函数会对插值精度产生较大的影响。并且地震面波数据的同向轴斜率往往较大,若直接对其进行插值处理,插值后的面波数据同向轴经常会出现阶梯状不连续的现象。笔者提出了一种基于最佳小波基的地震面波插值方法。首先通过理论分析和实验误差对比选定适用于地震数据插值的最佳小波基函数bior6.8。由于大部分的插值方法对同向轴倾角较大的地震数据的适应性较差,故采用线性动校正的方法对原始面波数据进行拉平处理,降低其同向轴倾角对插值精度的影响。然后通过对线性动校正后的数据进行空间滤波和频率调制得到高分辨率数据的高频估计部分,在一定程度上补偿了高频信息的缺失。最后利用最佳小波基函数bior6.8进行二维离散小波逆变换及反线性动校正得到插值结果。通过对面波模型和实际地震数据处理效果的对比分析可知, 文中提出的方法能够有效提高面波数据的空间采样率,消除空间假频现象,插值后的地震数据波形自然连续,频率速度谱的信噪比明显提高。
1 方法原理
利用小波变换对地震数据进行插值处理相当于对地震数据进行重构,使其空间上道数加密,时间上的采样点数保持不变。对高分辨率地震数据进行二维离散小波变换可以将数据分解为低分辨率的四个子块,分别得到低频部分a1以及水平、垂直和对角线方向的高频部分h1、v1、d1。如图1所示,其中a1、h1、v1和d1分别为对高分辨率地震数据c0做一级小波变换得到的4个子带,a2、h2、v2和d2分别为对垂直方向的高频部分v1做二级小波变换得到的4个子带。
图1
已知二维地震数据f(x,y),数据大小为M×N,以及尺度函数φ(x,y)和小波函数ψ(x,y),其中φ和ψ满足容许性条件,构成正交小波基。则对于f(x,y)在初始尺度j0下的二维小波变换可以表示为:
其中:
则f(x,y)的二维小波逆变换可以表示为:
通常的小波变换插值方法是利用高分辨率与低分辨率地震数据之间的相似性,在插值过程中把低分辨率地震数据近似为高分辨率数据的低频部分,并将高分辨率数据的高频部分置零后进行二维小波逆变换即可得到插值后的地震数据。这种方法由于在插值过程中将高分辨率数据的高频细节部分直接置零,会导致一部分高频细节信息的丢失。为了对丢失的高频细节信息进行补偿,可以假设低分辨率地震数据与高分辨率地震数据具有相同的构造信息,并对低分辨率地震数据进行空间滤波和频率调制,这样可以估计出高分辨率地震数据在水平、垂直和对角线3个方向上的高频细节部分。这种高频估计的方法可以在一定程度上补偿插值结果中丢失的高频细节信息,提高插值的精度。
大部分的地震数据插值方法在地震信号同向轴的斜率较小时,插值效果较好。但是对于面波数据而言,同向轴的斜率较大,直接对数据进行插值效果并不理想,插值后的同向轴经常会出现阶梯状不连续的现象。通过在小波插值前利用线性动校正将面波信号的同向轴拉平,可以降低其斜率,然后对拉平后的数据进行插值,最后进行反线性动校正,将面波信号恢复至初始位置得到最终的插值结果,具体流程如图2所示。通过对面波模型和实际数据进行测试,证实利用上述方法对面波数据进行插值的结果较好,保证了面波波形的连续性,降低了插值道的波形畸变。
图2
2 模型测试
2.1 最佳小波基的选取
在对地震数据进行小波变换时,选择小波基的自由度很大。在利用小波变换对地震数据进行不同的处理时,最佳小波基的选取准则也不尽相同。因此,有必要针对面波插值的特点选取最佳小波基。适用于地震数据处理的小波函数需要同时具备正则性、对称性、相似性和合适的支撑长度等性质。正则性好的小波可以获得较好的平滑效果;对称性好的小波能够有效地避免相位畸变;与地震信号子波波形具有相似性的小波基函数可以使信号在时间—尺度域的能量分布更加集中;对于小波函数的支撑长度来说,若长度太长容易产生边界问题,太短则不利于信号能量的集中。这些性质对于一个小波函数来说不能同时全部满足,不同特性之间的权衡问题是选取一个最佳小波函数的关键。文中提出的方法为在一个由地震数据处理常用的小波基(db、sym、bior)组成的小波基库中通过实验误差对比,优选出一个适用于面波插值的小波基函数作为最佳小波基。
图3
图3
最佳小波基bior6.8插值结果
a—原始记录;b—抽道记录;c—插值记录;d—插值误差
Fig.3
Interpolation result using optimistic wavelet basis bior6.8
a—original record;b—track record;c—interpolation record;d—interpolation error
从误差图3d中可以看出斜率越大的同向轴,插值后的误差越大。因此针对面波信号同向轴为线性的特点采用线性动校正的方法,降低其同向轴的斜率,从而减小插值的误差。
图4
图4
三类小波基插值误差对比
a—db类小波基误差;b—sym类小波基误差;c—bior类小波基误差
Fig.4
Interpolation error comparison
a—db wavelet basis error;b—sym wavelet basis error;c—bior wavelet basis error
bior6.8小波基的尺度函数和小波函数波形以及重构所用的高通和低通滤波器如图5、6所示,可以发现其波形与地震子波具有很好的相似性,这有利于地震信号的能量在时间尺度域更好地集中。
图5
图5
bior6.8小波基
a—分解尺度函数;b—分解小波函数;c—重构尺度函数;d—重构小波函数
Fig.5
Wavelet basis bior6.8
a—decomposition of scaling function;b—decomposition of wavelet function;c—reconstruction of scaling function;d—reconstruction of wavelet function
图6
图6
bior6.8小波基对应的滤波器
a—分解低通滤波器;b—分解高通滤波器;c—重构低通滤波器;d—重构高通滤波器
Fig.6
Filters corresponding to wavelet basis bior6.8
a—decomposition low pass filter;b—decomposition high pass filter;c—reconstructing low pass filter;d—reconstructing high pass filter
2.2 面波插值
图7
图7
抽道前后地震记录及频率波数谱
a—原始记录;b—原始记录对应频率波数谱;c—抽道记录;d—抽道记录对应频率波数谱
Fig.7
Seismic records and dispersive images before and after extracting traces
a—original record;b—frequency wavenumber spectrum corresponding to the original record;c—track record;d—frequency wavenumber spectrum corresponding to the track record
对抽道记录直接进行小波变换插值,会出现明显的波形阶梯状不连续的现象,特别是在同向轴斜率较大且中间缺道较多时,不连续现象会更加明显。采用线性动校正对面波数据进行拉平处理可以很好地避免这一现象,提高插值波形的连续性。在进行线性动校正前需要对记录进行边界延拓,这样可以避免动校正拉平后的数据超出记录上边界,并防止小波变换插值时产生边界效应影响插值效果,边界延拓的部分可在插值后切去。
图8a为对抽道数据进行线性动校正拉平处理的结果,将此记录作为高分辨率数据的低频近似。对低频近似部分进行空间滤波及频率调制,得到水平、竖直和对角线方向的高频估计部分,并保持其波形与原记录的相似性,如图8b、c、d所示。将低频近似部分和3个高频估计部分作为二维小波逆变换所用的四个子块,利用最佳内插小波基bior6.8进行小波逆变换和反线性动校正得到图9a所示的插值结果。从插值结果的频率波数谱中可以看到假频现象被消除。对比原始记录和插值结果发现,插值记录同向轴波形连续性较好,高频信息得到很好的恢复。图10中将原始记录和插值结果的第61道抽出进行对比可以看到,插值结果与原始记录波形十分吻合,没有发生畸变,误差很小。
图8
图8
用于二维小波逆变换的四个子带
a—低频近似部分;b—水平方向的高频估计;c—垂直方向的高频估计;d—对角线方向的高频估计
Fig.8
Four sub-bands used in 2D wavelet inverse transformation
a—low frequency approximation part;b—high frequency estimation of horizontal direction;c—high frequency estimation of vertical direction;d—high frequency estimation of diagonal direction
图9
图9
插值结果及其频率波数谱
a—插值结果;b—频率波数谱
Fig.9
Interpolation result and its FK spectrum
a—interpolation results;b—frequency wavenumber spectrum
图10
图10
原始记录和插值结果的第61道波形对比
Fig.10
The 61st trace waveform comparison between original record and interpolation result
利用相移法求出原始、抽道和插值记录的频率速度谱进行对比,如图11所示。相对于原始记录的频率速度谱,抽道记录的频率速度谱由于存在假频现象,在高频高速区A处产生了假高阶能量,严重影响了频散曲线的拾取,降低了频散曲线反演的精度,并且在低速区B处出现明显的噪声干扰,降低了频率速度谱的信噪比。在插值后的频率速度谱中,假高阶能量几乎被完全去除,低速区的噪声得到很好地压制,频率速度谱的信噪比显著提高,验证了文中提出的面波插值方法的有效性。
图11
图11
频率速度谱对比
a—原始记录频率速度谱;b—抽道记录频率速度谱;c—插值结果频率速度谱
Fig.11
Dispersion images comparison
a—frequency velocity spectrum of original recording;b—frequency velocity spectrum of track recording;c—frequency velocity spectrum of interpolation results
3 实际数据
通过对实际数据进行处理验证本文提出方法的有效性和实用性。图12a为某工区实际采集的地震记录,共40道,道间距为52 m,时间采样间隔为 2 ms。利用文中提出的方法对实际数据进行插值,得到图12b所示的插值结果。将插值结果与原始记录进行对比发现红色框内的面波部分插值效果较好,波形连续性较好基本没有发生畸变。对比图12a、b可以发现插值结果的体波部分插值效果并不好,出现明显的拉伸畸变现象。这是由于在插值前进行的线性动校正只是对于面波的线性同向轴适用的,体波的同向轴并不具备线性特性。在进行线性动校正、小波变换插值和反线性动校正之后,体波的同向轴不能得到有效的恢复。若要避免这一现象的产生,可以在插值处理前进行面波分离,将面波从地震数据中分离出来并单独对其进行插值处理。
图12
图12
插值前后地震记录
a—原始记录;b—插值结果
Fig.12
Seismic records before and after interpolation
a—original record;b—interpolation results
利用相移法求出原始记录和插值记录的频率速度谱进行对比,如图13所示。在原始记录的频率速度谱中高频部分噪声干扰严重,信噪比很低,并且在A处出现了明显的假高阶能量干扰。B处的噪声干扰严重,特别是高阶的频散能量受噪声干扰严重,这对高阶频散曲线的精确拾取造成了很大的干扰。在插值后的频率速度谱中,假高阶能量基本被完全去除,高频部分的噪声得到有效压制,频率速度谱的信噪比得到了明显提高。通过对实际数据进行面波插值处理,插值后的波形及频率速度谱都取得了较好的效果,验证了本文提出的面波插值方法的实用性。
图13
图13
频率速度谱对比
a—原始记录频率速度谱;b—插值结果频率速度谱
Fig.13
Dispersion images comparison
a—frequency velocity spectrum of original recording;b—frequency velocity spectrum of interpolation results
4 结论
通过以上理论分析以及对面波模型和实际资料的处理验证,可以得到如下结论:
1) 通过理论分析和实验误差对比,从地震处理常用的小波基库中优选出适合地震面波数据插值的最佳小波基bior6.8。利用最佳小波基进行地震数据插值可以有效降低插值误差,提高插值结果的准确性。
2) 在对面波数据进行插值的过程中采用线性动校正的方法降低面波同向轴斜率,并对高分辨率数据的高频信息进行估计。这使得插值结果的波形具有更好的连续性,在一定程度上补偿了插值结果中的高频信息。
3) 利用本文方法对面波数据进行插值,可以明显提高频率速度谱的信噪比。解决了由于假频现象引起的频率速度谱中的假高阶能量和低信噪比的问题,有利于频散曲线的精确拾取。
参考文献
Multichannel analysis of surface waves
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Surface-wave analysis for building near-surface velocity models-established approaches and new perspectives
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基于频率—速度域多重信号分类的面波高分辨率频散成像方法
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DOI:10.3969/j.issn.1000-1441.2017.01.016
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准确的相速度频散图像是主动源面波勘探方法反演近地表横波速度的基础.提出了一种基于频率-速度域多重信号分类(multiple signal classification in frequency-velocity domain)的面波高分辨率频散成像方法(简称fv-MUSIC方法).该方法首先将传统的频率-波数域波束形成器改造成频率-速度域形式,然后引入多重信号分类算法将空间谱相关矩阵分解为信号子空间和噪声子空间两个部分,最后利用噪声子空间部分生成最终的面波频散图像.理论数据和实际数据应用结果表明,该方法能产生较高精度的相速度图像,并且使用方便,计算效率高,尤其当接收排列较短时,该方法依然能保持较高的相速度分辨率,有利于提高主动源面波方法的横向速度分辨能力.
High resolution dispersion imaging of surface waves based on signal classification in frequency-velocity domain
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高频面波方法的若干新进展
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面波多道分析方法(MASW)通过分析高频瑞雷波确定浅地表剪切波速度.在过去的20年中,由于该方法具有非侵入性、无损、高效及价格低的特点,越来越受到浅地表地球物理和地质工程学界的重视,视为未来最有希望的技术之一.这篇综述论文将介绍中国地质大学(武汉)浅地表地球物理团队近年来在研究高频面波的传播理论和应用中取得的部分成果.非几何波是一种仅存在于浅地表介质,尤其是未固结的沉积物中的独特的地震波.它的存在对快速而准确地获得表层S波速度有一定价值.我们的研究表明非几何波是一种具有频散特性的泄漏波.泄漏波的存在可能导致将其误认为瑞雷波的基阶或高阶能量,从而造成模式误判.这种模式误判会导致错误的反演结果.我们通过求取高基阶分离后的瑞雷波格林函数证明虚震源法瑞雷波勘探的可行性.这个结果将极大地降低野外瑞雷波勘探成本.勒夫波多道分析方法(MALW)中未知参数比瑞雷波的少,这使得勒夫波的频散曲线比瑞雷波的简单.因此,勒夫波反演更稳定,非唯一性更低.勒夫波数据生成的能量图像通常比瑞雷波的清晰,并具有更高的分辨率,从而可以更容易地拾取精确的勒夫波的相速度.利用雅克比矩阵分析波长与探测深度的关系表明对相同波长的基阶模式而言,瑞雷波的探测深度是勒夫波的1.3~1.4倍;而两种波的相同波长的高阶模式波的探测深度相同.我们也尝试了时间域勒夫波反演.按照勒夫波分辨率将地球模型剖分成了不同尺寸的块体,利用反卷积消除了地震子波对勒夫波波形的影响,通过更新每个块体的S波速度来拟合勒夫波波形,从而获得地下S波速度模型.该方法不基于水平层状模型假设,适用于任意二维介质模型.
New findings in high-frequency surface wave method
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多道面波频散分析在实际大炮数据中的应用
[J].
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通常应用小道距、短排列接收到的高频面波进行面波反演,但也已开始利用大炮地震数据中的面波进行近地表结构反演.复杂实际地震数据会降低频散曲线的精度,从而影响近地表结构反演的效果.文中探讨了大炮数据多道面波反演中如何确定参与频散分析数据道的最小炮检距大小、数据道数量及同炮地震数据中强弱面波不均衡等难题,提出了提高频散曲线生成精度的方法.实例分析结果证明这些提高频散曲线生成精度的方法是有效的,取得了令人满意的近地表结构反演效果.
Frequency dispersion analysis of MASW in real seismic data
[J].
F-X域等道距道内插
[J].Simon Spitz（1989）提出的用<em>F-X</em>域预测技术实现道内插的方法,尽管有许多优点,但还是存在计算量大、精度低等一些问题。本文给出了一种新的<em>F-X</em>域实现道内插的方法,该方法是利用<em>F-X</em>域预测算子包含了所有反射波同相轴的倾角信息这一特性来实现道内插。它不必像常规方法那样扫描反射波同相轴的倾角,而且即使存在严重的空间仅频时,也可得到较好的内插效果。理论与实际资料试验的结果表明,该方法具有速度快、精度高、内插出的地震道波形自然、不受空间仅频影响等优点,但前提是要求在作道内播之前道距必须相等。
Iso-interval trace interpolation in F-X domain
[J].
F-K域等道距道内插
[J].F－K域道内插是沿用F－X域道内插原理，在F－K域计算道内插算子，并在F－K域实现道内插。该方法具有速度快、精度高、内插出的地震道波形自然、背景好、断点清楚、不怕空间假频等优点。文中给出的实际资料计算结果表明，该方法具有理想的内插效果。
Iso-spaced trace interpolation in F-K domain
[J].
小波变换在面波插值中的应用
[J].利用瑞雷面波的频散信息可有效反演浅层横波速度结构。但在大时空采样地震记录中,由于瑞雷面波的速度很低,其记录中的高频成分容易出现严重假频,甚至出现超周期现象,这会降低其频率速度谱的信噪比,影响频散曲线的提取精度,在高频段更加如此。基于小波变换原理,实现对瑞雷面波的时空插值;根据瑞雷面波同相轴线性的特点,将线性动校正引入到插值中,改善高频信息的插值效果;进行理论模型数据和实际记录的试算与频率速度谱的提取以及插值前后频率速度谱的对比分析。研究结果表明:基于小波变换原理的插值方法是正确的;该方法可以有效提高频率速度谱的信噪比和频散曲线的提取精度,为大时空采样地震记录瑞雷面波频散曲线的提取提供理论基础。
Application of wave transform on Rayleigh wave onterpolation
[J].
地震信号内插与噪声剔除(一)
[J].
DOI:
Magsci
信号内插与噪音剔除是相互有着有机联系的两个方面。首先讨论地震信号的内插方法,提出了一种“最佳内插算子”,从而导出了另一种“检噪算子”,它可以有效地把干扰波从记录中识别出来,并将其“剔除”出去。进而讨论空间域数据的内插问题——道内插问题。在一定的条件下,空间域数据内插与时间域内插是完全等效的,因此道内插也可以采用与时间域相同的“最佳内插算子”。地震记录上的干扰波其绝大部分表现为空间域的脉冲式干扰,所以用“检噪算子”在空间域作褶积,便能识别干扰,从而对干扰加以剔除。本文解决了一种迭代的剔除方法,取得了好的效果。
Seismic signal interpolation and noise deletion(1)
[J].
地震信号内插与噪声剔除(二)
[J].本文是文献[1]的续篇。前文已介绍一维情况下的信号内插的最佳内插算子,提出了一种可以在空间域较彻底地剔除干扰波的检噪算子。本文将其推广到二维情况,讨论二维F-K域中的信号内插及噪音剔除技术。二维噪音剔除可以在信噪比很低的记录上分离出信号来。通过试验说明,噪音剔除比常规的二维滤波好。
Seismic signal interpolation and noise deletion(2)
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Seismic trace interpolation in the f-x domain
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Trace interpolation using wavelet transform
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Seismic signals are often irregularly sampled along spatial coordinates, leading to suboptimal processing and imaging results. Least squares estimation of Fourier components is used for the reconstruction of band-limited seismic signals that are irregularly sampled along one spatial coordinate. A simple and efficient diagonal weighting scheme, based on the distance between the samples, takes the properties of the noise (signal outside the bandwidth) into account in an approximate sense. Diagonal stabilization based on the energies of the signal and the noise ensures robust estimation. Reconstruction for each temporal frequency component allows the specification of a varying spatial bandwidth dependent on the minimum apparent velocity. This parameterization improves the reconstruction capability for the lower temporal frequencies. In practical circumstances, the maximum size of the gaps in which the signal can be reconstructed is three times the (temporal frequency dependent) Nyquist interval. Reconstruction in the wavenumber domain allows a very efficient implementation of the algorithm, and takes a total number of operations a few times that of a 2-D fast Fourier transform corresponding to the size of the output data set. Quality control indicators of the reconstruction procedure can be computed which may also serve as decision criteria on in-fill shooting during acquisition. The method can be applied to any subset of seismic data with one varying spatial coordinate. Applied along the cross-line direction, it can be used to compute a 3-D stack with improved anti-alias protection and less distortion of the signal within the bandwidth.
地震资料处理中小波函数的选取研究
[J].本文给出了常见地震子波的一个模拟公式，可以很好地模拟零相位及混合相位子波，在一定意义上也可以近似模拟最大相位及最小相位子波．模拟出的子波加上适当的修正项后满足允许条件，可用作小波函数．与Ｍｏｒｌｅｔ小波类似，在实际应用中这些修正项在一定条件下可以略去，文中对Ｍｏｒｌｅｔ小波作了改造，使其能更好地适应于地震资料处理．研究了反射波能量及噪声等干扰波在时间－尺度域的分布特征与所选基本小波的关系．提出用地震子波（或与地震子波相近的函数）作为基本小波，对地震资料进行去噪及分频解释的方法．最后用实例证明方法的有效性．
On the choice of wavelet functions for seismic data processing
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高分辨地震资料处理中导数小波函数的构造
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DOI:10.3969/j.issn.1000-1441.2000.02.007
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基于地震子波的模拟公式，可以很好地模拟零相位和混合相位子波，在一定意义上也可以近似模拟最大相位及最小相位子波。模拟出的子波再加上适当的修正项后满足允许条件，可作为小波函数。基于改进的Ｍｏｒｌｅｔ小波，推导出导数小波函数，能更好地适应于地震资料处理。根据构造出的各种小波函数在时间一尺度域对信号的展开特征，导数小波函数作为基本小波，可以对地震资料处理高分辨分频处理和瞬时特征提取。最后，应用实例证明了检
Construction of derivative wavelet function in high resolution seismic data processing
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地震资料在小波域的分频处理与重构
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在地震资料处理过程中,为了提高目的层段反射同相轴的分辨率,通常采用反褶积的方法。但是,这种方法很难设计出在突出主要目的层频段信息的同时,又兼顾其它频段的有用信息。频率域滤波方法虽然可解决时变滤波问题,但这种方法是基于傅里叶变换,在窗口与窗口之间的接合部位会出现假异常。本文针对上述问题,提出了地震资料在小波域分频处理与重构的方法。在提高目的层反射同相轴分辨率及同时兼顾中、低频信息的前提下,使处理出的地震剖面的频带有所拓宽,从而达到最佳重构。文中给出了具体算法和实例分析。其结果表明,该方法在理论上是正确的,实际应用效果也是成功的。
Frequency-shared processing and reconstitution of seismic data in wavelet domain
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Seismic trace interpolation using half-step prediction filters
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Abstract A method to perform seismic trace interpolation known as the Spitz method handles spatially aliased events. The Spitz method uses the unit‐step prediction filter to estimate data spaced at Δx/2. The missing data are obtained by solving a complex linear system of equations whose unknowns are the coefficients at the interpolated location. We attack this problem by introducing a half‐step prediction filter that makes trace interpolation significantly more efficient and easier for implementation. A complex half‐step prediction filter at frequency f/2 is computed in the least‐squares sense to predict odd data components from even ones. At the frequency f, the prediction operator is shrunk and convolved with the input data spaced at Δx to predict data at Δx/2 directly. Instead of solving two systems of linear equations, as proposed by Spitz, only a system for the half‐step prediction filter has to be solved. Numerical examples using a marine seismic common‐midpoint (CMP) gather and a poststack seismic section were used to illustrate the new interpolation method.
Optimal seismic imaging with curvelets
Curvelet imaging and processing:an overview
Sparseness-constrained seismic deconvolution with curvelets
Fast discrete curvelet transforms
[J].DOI:10.1137/05064182X URL [本文引用: 1]
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地震信号去噪的最优小波基选取方法
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An efficient interpolation approach for insufficient 3D field data
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