Cole-Cole模型参数在时间域激电找矿中的应用

doi:10.11720/wtyht.2018.1247

Cole-Cole模型参数在时间域激电找矿中的应用

彭伟¹^,², 梁义强¹^,², 张淳², 刘鹏鹏²

1. 成都理工大学地球物理学院,四川成都 610072

2. 四川省地质矿产勘查开发局物探队,四川成都 610072

The application of Cole-Cole model parameters to the time domain induced polarization prospecting

PENG Wei¹^,², LIANG Yi-Qiang¹^,², ZHANG Chun², LIU Peng-Peng²

1. Chengdu University of Technology, Chengdu 610072, China

2. Geophysical Exploration Party of Sichuan Bureau of Exploration and Development of Geology and Minerals Resources, Chengdu 610072, China

责任编辑: 沈效群

收稿日期: 2017-06-1 修回日期: 2017-09-10 网络出版日期: 2018-06-05

基金资助:

中国地质调查局矿产资源评价项目"西南三江成矿带南段地质矿产调查". 1212011085139

Received: 2017-06-1 Revised: 2017-09-10 Online: 2018-06-05

Fund supported:

. 1212011085139

作者简介 About authors

彭伟(1985-),男,四川资阳人,硕士学位,毕业于成都理工大学,研究方向为电法勘探理论与应用。Email:pengwei24@163.com 。

摘要

常规的时间域激电法获得参数较少,仅有电阻率和极化率两个参数,这使得激电异常往往难以准确解译,具体体现在矿体解译信息量较少和探测分辨率差上,特别是在极化率或电阻率数值接近的一些共生及伴生的矿产勘探中,如炭质灰岩、黄铁矿和褐铁矿共生的一些矿山。为了丰富矿体地质信息,提高对矿体的认识,减少误判和漏判,文中利用激电效应的时间响应可用Cole-Cole模型来描述的特征,通过阻尼最小二乘法实现时间响应与时间域Cole-Cole模型的最佳拟合,从而获得多种Cole-Cole模型参数。实际应用证明,该方法经济、有效,可通过多种物理参数综合解释,实现对激电异常更全面的认识和正确的推断解释,同时提高了时间域激电在深部找矿中的分辨率。

关键词： Cole-Cole模型 ; 时间域激电 ; 阻尼最小二乘法 ; 时间响应 ; 激电参数

Abstract

the routine time domain induced polarization can only obtain two parameters, i.e., resistivity and polarizability, which often makes it difficult to accurately interpret induced polarization anomaly and thus causes less information for orebody interpretation and poor detection resolution. Such a phenomenon is especially prominent in the exploration of some ore resources characterized by associated or accompanying minerals like carbonaceous limestone, pyrite and limonite whose resistivities or polarizabilities are close to each other. In order to enrich orebody geological information, improve the understanding of orebody and reduce mistaken or incomplete judgement, the authors utilized the feature that Cole-Cole model could describe time response of induced polarization effect and employed damping least squares method to realize the best fitting of the time response with time domain Cole-Cole model so as to obtain varied kinds of Cole-Cole model parameters. Practice shows that this method is economical and effective and, through integrated interpretation of varied kinds of physical parameters, it can realize more overall understanding and correct induction and interpretation of induced polarization and also improve the resolution of the time domain induced polarization in deep prospecting.

Keywords： Cole-Cole model parameters ; TDIP ; damped least squares approximation ; time response ; IP parameter

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本文引用格式

彭伟, 梁义强, 张淳, 刘鹏鹏. Cole-Cole模型参数在时间域激电找矿中的应用. 物探与化探[J], 2018, 42(3): 513-517 doi:10.11720/wtyht.2018.1247

PENG Wei, LIANG Yi-Qiang, ZHANG Chun, LIU Peng-Peng. The application of Cole-Cole model parameters to the time domain induced polarization prospecting. Geophysical and Geochemical Exploration[J], 2018, 42(3): 513-517 doi:10.11720/wtyht.2018.1247

0 引言

传统的时间域激电法生产效率较高,应用广泛,但测量参数较少,反映地质信息有限,且受低阻屏蔽层影响较大,测量深度受限,另外受接地电阻以及游散电流影响,二次场电压受到压制,致使分辨率降低。频率域激电法的生产效率较低,分辨率高,测量参数较多,能反映地下更为丰富的信息,但由于受电磁耦合效应影响,难以彻底区分激电效应和耦合效应^[1,2,3]。为扬长避短,充分发挥两者优势,Pelton等通过Cole-Cole模型建立起两者之间的桥梁,奠定了频谱激电的基础,罗延钟、吴孝国等利用时间域激电资料通过阻尼最小二乘法反演得到Cole-Cole模型参数^[4,5,6,7],从而开启了由时间域激电观测数据,获取Cole-Cole模型参数找矿的应用大门。

1 基本原理

1.1 建模

对于矿化岩石来说,可以把它的一个基本结构单元简化成图1a所示结构,其中包括被金属硫化物阻塞的溶液孔隙通道和未被阻塞的溶液孔隙通道;此基本结构单元可以用图1b所示的等效电路来模拟。电阻R₁模拟未被阻塞的溶液孔隙通道中的溶液电阻,电阻R₂模拟被阻塞的溶液孔隙通道中的溶液的电阻与金属颗粒的电阻的和,复阻抗(jωX)^-^C模拟金属—离子溶液界面阻抗^[7]。

图1

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图1 矿化岩石的一个基本结构单元示意(a)及其等效

电路(b)

那么此等效电路的复电阻率的柯尔-柯尔表达式^[7],即频率域的频率响应为:

(1) $ρ (ω) = ρ_{0} \{1 - m [1 - \frac{1}{1 + {(j ωτ)}^{C}}]\},$

其中,ρ₀为零频率时的电阻率,

(2) $m = 1 / (1 + \frac{R_{2}}{R_{1}}), τ = X {(\frac{R_{1}}{m})}^{1 / c},$

经傅里叶逆变换后,得到时间域的下阶跃响应^[7]:

(3) $V (t) = m R_{0} I_{0} \overset{\infty}{\sum_{n = 0}} \frac{{(- 1)}^{n} {(t / τ)}^{nc}}{Γ (nc + 1)} 。$

其中:V(t)为二次场电位差时间序列,I₀为一次场电流,R₀为零频电阻,m为充电率,τ为时间常数,c为频率相关系数,Γ为伽马函数。

1.2 正演

根据李金铭对时间域激电视极化率的定义^[5]

(4) $η_{i} = \frac{1}{t_{i} - t_{i - 1}} \int_{t_{i - 1}}^{t_{i}} V (t) d t / V_{0},$

V(t)为二次场电压,V₀为一次场电压,t_i,t_i_-1为取值窗口时间。

由Pelton,Guptasarma,傅良魁等^[4,6-8],可知

(5) $\begin{array}{l} V (t) = m R_{0} I_{0} \overset{\infty}{\sum_{n = 0}} \frac{{(- 1)}^{n} {(t / τ)}^{nc}}{Γ (nc + 1)}, \frac{t}{τ} \leq 2 π \\ V (t) = m R_{0} I_{0} \overset{\infty}{\sum_{n = 1}} \frac{{(- 1)}^{n + 1} {(t / τ)}^{- nc}}{Γ (1 - nc)}, \frac{t}{τ} > 2 π \end{array}$

将式(5)代入式(4)得到:

(6) $η_{i} = \{\begin{array}{l} \frac{1}{(t_{i} - t_{i - 1})} mτ \overset{\infty}{\sum_{n = 0}} \frac{{(- 1)}^{n} [(t_{i} {/ τ)}^{1 + nc} - (t_{i - 1} {/ τ)}^{1 + nc}]}{Γ (1 + nc) (1 + nc)}, (0 \leq t_{i} / τ \leq 2 π); \\ \frac{1}{(t_{i} - t_{i - 1})} mτ \overset{\infty}{\sum_{n = 0}} \frac{{(- 1)}^{n} [{(2 π)}^{1 + nc} - (t_{i - 1} {/ τ)}^{1 + nc}]}{Γ (1 + nc) (1 + nc)} + mτ \overset{\infty}{\sum_{n = 1}} \frac{{(- 1)}^{n + 1} [(t_{i} {/ τ)}^{1 - nc} - {(2 π)}^{1 - nc}]}{Γ (1 - nc) (1 - nc)}, \\ (0 \leq t_{i - 1} / τ \leq 2 π, t_{i} / τ > 2 π); \\ \frac{mτ}{(t_{i} - t_{i - 1})} \overset{\infty}{\sum_{n = 1}} \frac{{(- 1)}^{n + 1} [(t_{i} {/ τ)}^{1 - nc} - (t_{i - 1} {/ τ)}^{1 - nc}]}{Γ (1 - nc) (1 - nc)}, (t_{i - 1} / τ > 2 π) 。 \end{array}$

可见,该拟合过程将仅对Cole-Cole模型的充电率(m)、时间常数(τ)以及频率相关系数(c)三个参数做正反演计算。

1.3 反演

由于大多数时间域激电仪不能直接获得二次场电压差V(t)衰减曲线,但能通过式(4)得到极化率值,为结合实际情况,文中采用实测极化率值与式(5)Cole-Cole模型极化率理论值作为拟合目标函数。

目标函数:

(7) $ϕ (\overset{̅}{x}) = \min \{\overset{N}{\sum_{i = 1}} [E (t_{i}) - η (t_{i} {)]}^{2}\},$

E(t_i)是第i个取样点实测值, $\overset{̅}{x}$ =[m,τ,c]^T,N为实测衰减曲线上取样点总数

对上式在初值 ${\overset{̅}{X}}^{0}$ 处作泰勒级数展开,并忽略二阶以上的各阶偏导数,然后让各偏导数等于零,即能使目标函数值最小^[8,10]。

反演采用马奎特法^[9],引入松弛因子λ,则上述极值问题变成求线性方程组

(8) $[A^{T} A + λI] Δ \overset{̅}{X} = G,$

$\begin{array}{l} A = [\begin{array}{l} \frac{\partial η (t_{1})}{\partial x_{1}} & \frac{\partial η (t_{1})}{\partial x_{2}} & \frac{\partial η (t_{1})}{\partial x_{3}} \\ \frac{\partial η (t_{2})}{\partial x_{1}} & \frac{\partial η (t_{2})}{\partial x_{2}} & \frac{\partial η (t_{2})}{\partial x_{3}} \\ ︙ & ︙ & ︙ \\ \frac{\partial η (t_{n})}{\partial x_{1}} & \frac{\partial η (t_{n})}{\partial x_{2}} & \frac{\partial η (t_{n})}{\partial x_{3}} \end{array}] \end{array}$

其中,

$G = - {[A]}^{T} \cdot [, \begin{array}{l} E (t_{1}) - η (t_{1}) \\ E (t_{2}) - η (t_{2}) \\ ︙ \\ E (t_{n}) - η (t_{n}) \end{array}],$

I为单位矩阵。

采用SVD分解求广义逆^[11]的方法求得

(9) $Δ \overset{̅}{X} = (A^{T} {A + λI)}^{+} G$

(10) $\begin{array}{l} Δ \overset{̅}{x} = {[Δ m, Δ τ, Δ c]}^{T} \end{array}$

即得:

(11) $\{\begin{array}{l} m = m_{0} + Δ m \\ τ = τ_{0} + Δ τ \\ c = c_{0} + Δ c \end{array}$

反复迭代,直到目标函数小于指定精度或达到指定的最大迭代次数为止。

1.4 程序检验

根据罗延钟给出的检验模型^[8]:ρ₀=25,τ=1,c=0.5,m=0.6,利用文中给定的极化率正演模型,计算出延时50 ms后4组不同时间宽度的极化率值进行程序验证(表1,表2)。由此可见,反演拟合精度很高,能满足实际需求,同时也检验了程序体的正确性。

表1 验证模型

组号	参数项	η₁	η₂	η₃	η₄
1	时间宽度/ms	20	40	80	160
1	视极化率/%	0.4646	0.4411	0.4076	0.3642
2	时间宽度/ms	40	80	160	320
2	视极化率/%	0.4563	0.4177	0.3706	0.3169
3	时间宽度/ms	80	160	320	640
3	视极化率/%	0.4423	0.3841	0.3242	0.1677
4	时间宽度/ms	160	320	640	1280
4	视极化率/%	0.4202	0.3407	0.2718	0.1427

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表2 反演结果及精度

组号	参数项	m/%	τ/ms	c
1	理论值	0.6	1	0.5
	拟合值	0.5986	0.9979	0.5027
	精度/%	0.23	0.21	0.54
2	理论值	0.6	1	0.5
	拟合值	0.6011	0.9948	0.4968
	精度/%	0.18	0.52	0.64
3	理论值	0.6	1	0.5
	拟合值	0.6017	0.9897	0.4966
	精度/%	0.28	1.03	0.68
4	理论值	0.6	1	0.5
	拟合值	0.6015	0.9929	0.4976
	精度/%	0.25	0.71	0.48

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2 频谱参数的物理意义

τ表征的是极化体结构及含量特征,c表征的是极化体颗粒均匀性。大量实测资料表明:导电矿物颗粒不均匀者的c小,矿化程度较高的岩石内部矿化颗粒往往较不均匀,则其c较大,零星或稀疏矿化的背景地段岩石一般颗粒较均匀;导电矿物颗粒大,相互连通较好,呈稠密、侵染状、块状和细脉状的τ值大,无矿化的纯离子导电岩石和导电矿物成细粒、互不相连的岩矿石,其τ<1 s^[12,13,14]。

3 应用

在某铁矿区,采用时间域激电参数划分了极化率异常(见图2中M1~M6),应用Cole-Cole模型反演得到Cole-Cole模型参数后,通过时间常数τ进一步划分了T1~T3的时间常数异常。从图2可以看出,M3、M4和T1对应较好,T3和M6对应稍差,可以认为是同一类异常;而T2完全没有激电异常与之对应。所有M1~M6异常以极化率7%为下限划定,而T2异常区域极化率均值为3%,M1~M6电阻率在200 Ω·m以下,频率相关系数在0.6左右,T2电阻率约为500 Ω·m,频率相关系数为0.5,频率相关系数差别不大。通过以上分析,可以划分出三大类异常:以M1、M2、M5高极化、低时间常数为代表的矿物连通程度较差,呈零星、稀疏状硫铁矿化体;以M3、M4、M6、T1、T3高极化、高时间常数为代表的连通程度较好的炭质灰岩;以及以T2为代表的低极化、高时间常数、高阻的褐铁矿体。根据以往标本测量结果显示,炭质灰岩与褐铁矿极化率相差无几,而M3、M4、M6、T1、T3异常区域极化率均比T2异常区域高,推测褐铁矿体埋藏深度较深。根据罗延钟等的研究^[12],时间常数对于发现深部异常具有比较大的优势,因为随着极化体赋存空间条件的变化,其他参数在稀释作用下会发生较大变化,而时间常数稀释作用较小。

图2

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图2 时间常数等值线平面及其与极化率异常对应情况

进一步对通过M4、M5异常的测深剖面进行Cole-Cole模型参数反演,得到图3。

图3

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图3 某铁矿上的充电率剖面(a)、频率相关系数剖面(b)和时间常数剖面(c)

M4-1、M5-1为极化率异常,M5-2、M5-3为频谱参数异常,可以看出M5-1、M5-2属于同一异常,高极化率、高充电率、低频率相关系数、低时间常数,属于零星、稀疏状硫铁矿化体,这与平面异常M5相对应。M5-3异常为低极化率、低充电率、高频率相关系数、高时间常数,同时电阻率为680 Ω·m,相对于M5-1、M5-2异常的电阻率在500 Ω·m以下,M5-3异常为相对高阻,应为褐铁矿化体。M4-1异常表现为高极化率、高电阻率、高频率相关系数、高时间常数,应为炭质灰岩,这也与M4异常对应。

4 结论

1)通过对时间域激电资料进行Cole-Cole模型反演,可以获得更多的物理参数,得到更丰富的地质信息。例如:时间常数与矿物颗粒连通程度正相关,频率相关系数与矿化颗粒不均匀性负相关。

2)Cole-Cole模型参数对于深部找矿有良好的分辨率,本文中的T2异常对于常规的极化率参数难以识别。特别是时间常数,其稀释作用较小,即使受低阻盖层影响,仍对矿体或矿化体反映较灵敏。

3)时间域激电受电磁耦合影响较小,且时间域激电较频率域激电经济高效,但由于Cole-Cole模型反演是一个非线性问题,解不稳定,相对于频率域有更高的不确定性。

4)由于模型限制,该模型在正演公式(6)中的后二种情况,即条件为0≤t_i_-1/τ≤2π,t_i/τ>2π和t_i_-1/τ>2π的情况下,分母Γ(1-nc)(1-nc)值会在n值逐渐增大的情况下出现等于零或伽马函数自变量等于负数的错误情况,极大可能出现无解的情况;这两种条件只在t值特别大、c值特别小的情况下适用,以达到快速收敛的目的。只有在第一种情况,即0≤t_i/τ≤2π的条件下,才能反复迭代得到满足拟合精度的最优解,但此时τ值会受限于τ>t_i/2π,即τ值不能出现在0~t_i/2π区间内;如果不约束τ值,当τ<t_i/2π时,式(6)中0≤t_i/τ≤2π条件下的级数收敛相当缓慢甚至不收敛,同样有可能出现无解或无最优解的情况。可见该方法只能对τ值做受限反演拟合。在本文应用反演中,采用3组实测极化率值进行反演,其最大采样时间为380 ms,故τ不能低于0.06 s。试验发现反演τ值越接近0.06 s,误差越大,无法得到最优解,其根本原因在于一个Cole-Cole模型的模型误差造成的,两个甚至更多的Cole-Cole模型组合能够更好地解决该拟合误差问题。

5)本文仅利用放电过程中3~4个时间窗口的观测数据,反演Cole-Cole参数的准确性可能不够高。若能采用专门的时间谱激电仪,密集采样获得激电效应放电过程的时间序列,效果可能更好。

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Computation of the theoretical time-domain response of a polarizable ground on the basis of a frequency-domain model of relaxation, e.g., a Cole-Cole or any other model that involves a fractional power of the complex frequency variable, runs into difficulties either because the Laplace transform can only be written as a very slowly converging summation or because it cannot be written in closed computable form. A clear way around this is to use a digital linear filter. A filter is presented in this paper that has been designed specifically to work well with complex impedance functions that tend asymptotically to real values at both extremes of the frequency variable, the magnitude descending monotonically from the low-frequency asymptote to the high frequency asymptote. This filter produces the step response from the real part of the impedance-versus-frequency function with reasonable accuracy for all impedance functions that one may like to represent by models of electrical relaxation for a polarizable ground, but it does not work for functions containing sharp resonances or discontinuities.

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... 那么此等效电路的复电阻率的柯尔-柯尔表达式^[7],即频率域的频率响应为: ...

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处作泰勒级数展开,并忽略二阶以上的各阶偏导数,然后让各偏导数等于零,即能使目标函数值最小^[8,10]. ...

... 根据罗延钟给出的检验模型^[8]:ρ₀=25,τ=1,c=0.5,m=0.6,利用文中给定的极化率正演模型,计算出延时50 ms后4组不同时间宽度的极化率值进行程序验证(表1,表2).由此可见,反演拟合精度很高,能满足实际需求,同时也检验了程序体的正确性. ...

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谱激电法频率相关系数的应用

1992

... τ表征的是极化体结构及含量特征,c表征的是极化体颗粒均匀性.大量实测资料表明:导电矿物颗粒不均匀者的c小,矿化程度较高的岩石内部矿化颗粒往往较不均匀,则其c较大,零星或稀疏矿化的背景地段岩石一般颗粒较均匀;导电矿物颗粒大,相互连通较好,呈稠密、侵染状、块状和细脉状的τ值大,无矿化的纯离子导电岩石和导电矿物成细粒、互不相连的岩矿石,其τ<1 s^[12,13,14]. ...

... 在某铁矿区,采用时间域激电参数划分了极化率异常(见图2中M1~M6),应用Cole-Cole模型反演得到Cole-Cole模型参数后,通过时间常数τ进一步划分了T1~T3的时间常数异常.从图2可以看出,M3、M4和T1对应较好,T3和M6对应稍差,可以认为是同一类异常;而T2完全没有激电异常与之对应.所有M1~M6异常以极化率7%为下限划定,而T2异常区域极化率均值为3%,M1~M6电阻率在200 Ω·m以下,频率相关系数在0.6左右,T2电阻率约为500 Ω·m,频率相关系数为0.5,频率相关系数差别不大.通过以上分析,可以划分出三大类异常:以M1、M2、M5高极化、低时间常数为代表的矿物连通程度较差,呈零星、稀疏状硫铁矿化体;以M3、M4、M6、T1、T3高极化、高时间常数为代表的连通程度较好的炭质灰岩;以及以T2为代表的低极化、高时间常数、高阻的褐铁矿体.根据以往标本测量结果显示,炭质灰岩与褐铁矿极化率相差无几,而M3、M4、M6、T1、T3异常区域极化率均比T2异常区域高,推测褐铁矿体埋藏深度较深.根据罗延钟等的研究^[12],时间常数对于发现深部异常具有比较大的优势,因为随着极化体赋存空间条件的变化,其他参数在稀释作用下会发生较大变化,而时间常数稀释作用较小. ...

埋藏极化体激电时间谱视参数的实验研究结果

1985

用激电时间谱视参数评价激电异常的应用效果

1995

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