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物探与化探, 2022, 46(4): 946-954 doi: 10.11720/wtyht.2022.2552

方法研究·信息处理·仪器研制

重力位场小波多尺度分解性质的分析与应用

孟庆奎,1,2, 张文志2, 高维2, 舒晴1,2, 李瑞2, 徐光晶2, 张凯淞2

1.自然资源部 航空地球物理与遥感地质重点实验室,北京 100083

2.中国自然资源航空物探遥感中心,北京 100083

Property analysis and application of multi-scale wavelet decomposition of gravity potential field

MENG Qing-Kui,1,2, ZHANG Wen-Zhi2, GAO Wei2, SHU Qing1,2, LI Rui2, XU Guang-Jing2, ZHANG Kai-Song2

1. Key Laboratory of Airborne Geophysics and Remote Sensing Geology, Ministry of Natural Resources, Beijing 100083, China

2. China Aero Geophysical Survey and Remote Sensing Center for Natural Resources, Beijing 100083, China

责任编辑: 王萌

收稿日期: 2020-12-7   修回日期: 2021-12-14  

基金资助: 自然资源部航空地球物理与遥感地质重点实验室课题(2020YFL16)
中国地质调查局地质调查项目(DD20191001)
中国地质调查局地质调查项目(DD20191004)

Received: 2020-12-7   Revised: 2021-12-14  

作者简介 About authors

孟庆奎(1987-),男,硕士,工程师,主要从事应用地球物理方法研究和数据处理解释工作。Email: qingkui_meng@163.com

摘要

小波多尺度分解是重力位场分离的常用方法之一,其最大的优点是突破了传统的二分重力异常的理念,实现了重力异常的多重分解,但对其性质及其存在的局限性还未进行系统研究。为了更好地指导实践,本文从基于剖面和格网的重力位场小波多尺度分解的定义出发,阐述了低阶小波细节不变准则等3个重要性质,通过设计简单和复杂两类典型理论模型,分析了小波多尺度定义及性质,并在应用实例中与插值切割法进行了对比。结果表明,小波多尺度分解可以实现重力位场多层分离并推估源体埋深,同时针对本文指出的异常尺度混叠和比例系数难以确定等局限,给出了改进思路。以上基础研究工作,可为重力位场资料的处理和解释提供一定参考。

关键词: 重力位场; 小波多尺度分解; 低阶小波细节不变; 理论分析; 实例应用

Abstract

Multi-scale wavelet decomposition is one of the common methods for gravity potential field separation. The biggest advantage is that it breaks through the traditional concept of dichotomy gravity anomalies and achieves the multiple decomposition of gravity anomalies. However, no systematic study has been carried out on the limitations and properties of the multi-scale wavelet decomposition. To systematically investigate the multi-scale wavelet decomposition and provide guidance for its practical application, this study, starting from the definition of multi-scale wavelet decomposition of gravity potential field based on profiles and grids, expounded three important properties such as the criterion that low-order wavelet keeps details invariant. Then, it analyzed the definition and properties of multi-scale wavelet by designing simple and complex theoretical models. Afterward, this study compared the multi-scale wavelet decomposition with the interpolation cutting method using field data. The results show that multi-scale wavelet decomposition can achieve multi-layer separation of gravity potential field and estimate the burial depths of source bodies. In addition, the multi-scale wavelet decomposition can provide some ideas for solving the limitations pointed out in this study, such as abnormal scale aliasing and difficulty with the determination of scale coefficients. The above basic research can provide a certain degree of references for the processing and interpretation of gravitational potential field data.

Keywords: gravitational potential field; multi-scale wavelet decomposition; criterion that low-order wavelet keeps details invariant; theoretical analysis; field data application

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本文引用格式

孟庆奎, 张文志, 高维, 舒晴, 李瑞, 徐光晶, 张凯淞. 重力位场小波多尺度分解性质的分析与应用[J]. 物探与化探, 2022, 46(4): 946-954 doi:10.11720/wtyht.2022.2552

MENG Qing-Kui, ZHANG Wen-Zhi, GAO Wei, SHU Qing, LI Rui, XU Guang-Jing, ZHANG Kai-Song. Property analysis and application of multi-scale wavelet decomposition of gravity potential field[J]. Geophysical and Geochemical Exploration, 2022, 46(4): 946-954 doi:10.11720/wtyht.2022.2552

0 引言

通过陆、海、空、天等各种测量平台获取的重力异常数据,是不同埋藏深度、不同剩余密度、不同空间尺度场源体产生位场的叠加[1],从观测数据中分离出不同场源体产生的异常是一个难度极大的问题,至今没有得到彻底解决。国内外学者在重力位场分离方面做了很多探索,发展了多种方法,可归纳为空间域方法和频率域方法两大类。空间域重力位场分离方法主要包括趋势面拟合法[2-4]、经验模态分解法[5]、最小曲率法[6-8]、插值切割法[9-13]、曲率滤波法[14-15]、有限单元法[16-22] 、卡尔曼滤波法[23-24]等,频率域重力位场分离方法主要包括维纳滤波法[25]、匹配滤波法[26-29]、小波多尺度分解法[30-35]等。重力位场分离方法的不断进步,推动了重力位场从二重分解到多重分解,为重力位场精细定量解释奠定了重要基础。

我国学者首先将小波分析技术应用于重力位场多尺度分解,并取得了一系列成果。侯遵泽等[30]应用小波分析技术对中国陆域布格重力异常进行了多尺度分解,认为中国布格重力异常的一、二、三、四阶小波变换细节分别主要反映了上地壳、上中地壳、中下地壳、下地壳—最上地幔密度的不均匀性,四阶逼近主要反映了中国陆域莫霍面起伏的总趋势及其与岩石圈大尺度的密度不均匀性;杨文采等[31]对中国大陆科学钻探区和澳洲大陆边缘区的重力异常进行了小波多尺度分解,并通过功率谱斜率建立了分解场源与深度对应关系;杨长保等[35]通过大量模型试验,探讨了各种小波函数和不同小波分解尺度在重力场分解中的精度差异,认为选择最佳的小波函数及分解尺度可实现区域异常和异常场的有效分离;高德章等[32]首次对我国东海及邻区自由空气重力异常进行了小波多尺度分解,获取了由沉积基底面和莫霍面起伏产生的重力异常,他们分别是四阶小波变换细节和四阶小波变换逼近;侯遵泽等[33]将塔里木盆地布格重力异常进行了三重分解,并结合钻探信息了解了每个层次的地质含义,认为与密度扰动关联的古流体活动带有利于预测油气远景区的形成。

以上研究成果多侧重于基础理论阐述和应用效果分析,正如杨文采等[31]所言,这些文章还来不及探讨重力位场小波多尺度分解的方法技术,于是杨文采等在不同文章[31,34]分别阐述了重力位场小波多尺度分解的低阶小波细节不变准则、二分重力异常与多重分解准则、尺度场源深度转换律等3个性质,但是为了直观地分析、验证这些性质,考察其应用前提和面临的困难,以更加准确、灵活地运用重力位场小波多尺度分解技术,有必要深入开展理论模型分析和实例应用。本文首先通过对理论模型重力异常的小波多尺度分解,直观地展示了小波多尺度分解公式的内在含义,即观测重力异常为不同尺度异常的叠加,这与重力异常产生机理相吻合,基于此分析了重力位场小波多尺度分解的3个性质,揭示了其存在两个方面的局限,即小波多尺度分解得到的结果存在一定的信息混叠和比例系数难以准确推估现象。为应对这两个问题,建议通过适当调整格网间距,或与其他位场分离方法相结合将得到的小波细节进一步分离,通过大量理论模型计算来统计常规形状密度体对应的比例系数。对南沙群岛中北部空间重力异常分离,得到了与插值切割较为一致且更为光滑的结果,验证了小波多尺度分解方法的正确性。以上研究可为重力位场资料的精细处理和综合解释提供借鉴。

1 重力位场小波多尺度分解公式

1.1 基于重力剖面的小波多尺度分解公式

VjjZ是给定了一维多尺度分析,φ(x)ψ(x)分别为尺度函数和小波函数,则基于剖面的重力异常Δg(x)(ΔgVN)N(NZ)重分解为[30]:

Δg(x)= ANf(x)+ DNf(x) + DN-1f(x)+…+ D2f(x)+ D1f(x),

其中:ANf(x)DNf(x)~D1f(x)分别为Δg(x)的小波多尺度N阶逼近、N~1阶细节。

1.2 基于重力格网的小波多尺度分解公式

Vj2jZ是给定了二维多尺度分析,其中Vj2=VjVj,尺度函数为φ(x,y)=φ(x)φ(y),小波函数为Ψ1(x,y)=φ(x)ψ(y),Ψ2(x,y)=ψ(x)φ(y),Ψ3(x,y)=ψ(x)ψ(y),则基于格网的重力异常Δg(x,y)(ΔgV2N)N(NZ)重分解为[30]:

Δg(x,y)= ANf(x,y)+ DNf(x,y) + DN-1f(x,y)+…+ D2f(x,y)+ D1f(x,y),

其中:ANf(x,y)DNf(x,y)~D1f(x,y)分别为Δg(x,y)的小波多尺度N阶逼近、N~1阶细节。

2 重力位场小波多尺度分解性质

2.1 低阶小波细节不变准则

设重力异常数据矩阵为H,经n重小波多尺度分解后产生n阶小波逼近Ha和小波细节Hb(1)Hb(2)、…、Hb(n-1)Hb(n),则小波细节Hb(1)Hb(2)、…、Hb(n-1)不随n的增大而改变,称其为低阶小波细节不变准则[31]。小波多尺度分解的这一性质与地下不同尺度场源体产生的异常相关联,对重力异常的多尺度分解十分有利。

2.2 二分重力异常与多重分解准则

二分重力异常是将重力异常数据矩阵H分解为区域异常和局部异常,n阶小波逼近Ha为区域异常,1~n阶小波细节之和Hb为局部异常,该准则用于传统的重力位场二分,通过不断改变阶次n可获得较为满意的区域异常和局部异常。设地下埋藏深度为hi的密度体产生的重力异常为Di(i=1~m),且DiDi-1至少大一个阶次,则可以将H进行n(nm)重分解,不同小波细节的组合即构成Di(i=1~(m-1)),n阶小波逼近即为Dm,称其为重力异常的多重分解[31]。例如用采样间距为2~4 km的重力异常进行4阶小波分解,则浅部(上地壳)异常D1为1阶小波细节与2阶细节之和,中深部(中下地壳)异常D2为3阶和4阶小波细节之和,而莫霍面异常D3为4阶小波逼近。

2.3 尺度场源深度转换律

设重力异常数据采样间距(剖面数据)或网格间距(平面数据)为δ,则n阶小波细节的特征尺度Ln=δ2n/2,孤立重力异常从极大值衰减为1/2极大值的水平距离为异常的特征尺度W(W=h/α),令小波细节的特征尺度等于重力异常的特征尺度,即Ln=W,可得重力异常源体埋深h与小波细节阶次n的关系式:

h=αδ2n-1,n =1,2,…,

其中:α为比例系数,与源体形状相关,α=0.2~0.9,如球体可取0.66、脉形侵入体可取0.80。

以上关系式即为重力小波多尺度变换的尺度场源深度转换定律[34],可见小尺度的小波细节反映埋藏深度小的场源分布,而大尺度的小波细节反映埋藏深度大的场源分布。正是由于重力异常小波多尺度分解的这一性质,故可利用其揭示地壳三维密度扰动。

3 理论模型试算

地下重力场源体的实际密度结构是非常复杂的,通常情况下,浅部场源体产生的重力异常为局部异常,区域异常则反映深部构造特征。为了更加直观、深入地理解重力异常小波多尺度分解公式及其3个重要性质,在本次研究中对地下密度结构进行了模型简化,设计了由2层密度体组成的简单理论模型和由4层密度体组成的复杂理论模型。需要指出的是,本文模型选用不同尺度的长方体组成,因为其空间三维延展的变化可以体现不同大小的比例系数,呈现多种形态的重力异常,使模型更具普遍性。

3.1 简单理论模型

在简单模型中,3个水平方向规模不同、埋深相同的长方体组成上层密度体,其产生的异常视为局部异常,水平尺度较大、埋藏深度较大的长方体构成下层密度体,其产生的异常视为区域异常,具体参数设置见表1所示。

表1   简单理论模型参数

Table 1  Parameters of simple models

编号左边界
/km
右边界
/km
前边界
/km
后边界
/km
上边界
/km
下边界
/km
剩余密度
/(g·cm-3)
备注
130355102.57.50.30浅部
2253015202.57.50.30浅部
3101520252.57.50.35浅部
41030103020300.30深部

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3.2 复杂理论模型

在截止目前的公开报道中,鲜有对多层复杂理论模型开展重力位场小波多尺度分解的先例。复杂多层理论模型更接近地下实际密度分布,对重力位场小波多尺度分解方法技术及性质的检验和分析更具说服力,基于这些考虑,我们设计了不同形状、不同尺度、不同埋深、不同剩余密度4层理论模型,具体参数设置见表2所示。

表2   复杂理论模型参数

Table 2  Parameters of complex models

编号左边界
/km
右边界
/km
前边界
/km
后边界
/km
上边界
/km
下边界
/km
剩余密度
/(g·cm-3)
备注
110.211.968.869.50.21.20.15第1层
264.465.370.871.80.21.20.15第1层
316.156.08.79.50.21.20.15第1层
434.136.169.872.53.05.00.40第2层
538.140.445.848.33.05.00.40第2层
667.971.232.761.76.59.50.45第3层
711.915.927.463.714.018.00.60第4层

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3.3 算例结果分析

在简单理论模型中,设计的测区范围为40 km×40 km,网格间距为1 km,采用Banerjee和Das Gupta正演公式[36]计算了两层模型在地表产生的重力异常。为了分析重力位场小波多尺度分解的性质,对得到的重力异常格网分别用Daubeehies、Biorthognoal、Symlest和Coiflets等小波系进行了小波多尺度分解,经过多次对比试验,选择效果较好的db10小波5重分解,结果如图1所示,其中图1a为模拟的重力异常,图1b~1f为小波分解1~5阶逼近,图1g~1k为小波分解1~5阶细节。首先,对低阶小波细节不变准则进行验证与分析,选用db10小波对得到的重力异常格网依次进行3、4、5、6重分解,他们的1~3阶细节完全相同,4、5、6重分解的1~4阶细节完全相同,5、6重分解的1~5阶细节完全相同,计算结果见图1g~1k所示,这样就直观地验证了小波细节不受分解阶次增加的影响。其次,经对比可以发现小波逼近和小波细节随阶次的增加提取出来的异常尺度也不断增大;1阶、2阶小波细节的特征尺度分别为1 km、2 km,由于该尺度的异常信息微弱,故图1g、1h主要显示了微弱的高频干扰;当小波细节的阶次增加到3阶、4阶时,模型中的浅层信息愈加明显;5阶小波细节特征尺度过大,已反映深部信息。基于这样的分析结果,绘制了理论模型异常与小波分解异常对比,如图2所示,其中图2a、2b、2c为分别为简单理论模型产生的重力异常、区域异常和局部异常,图2d、2e、2f为分别为小波恢复异常(即小波分解4阶逼近与1~4阶细节之和)、小波区域异常(小波分解4阶逼近)和小波局部异常(小波分解1~4阶细节之和)。经对比,图2a和图2c完全吻合,即用理论模型计算的方式验证了基于格网的重力位场小波多尺度分解公式成立,同时也验证了本文小波多尺度分解算法的正确性;小波区域异常基本反映了模型区域异常形态,但受浅部异常的影响,呈现出NW向的拉伸和偏移,小波局部异常与模型局部异常基本一致,故该模型算例验证了小波多尺度分解的二分重力异常准则,但值得注意的是,与其他频率域位场分离方法一样,小波多尺度分解也很难实现局部异常和区域异常的完全分离,对于实测数据的复杂情况更是如此;本例中视小波分解4阶细节为局部异常的平均埋深,其特征尺度为8 km,已知浅层模型的平均埋深为5 km,则根据尺度场源深度转换律,比例系数α等于0.63,与球体产生的比例系数相当。

图1

图1   简单模型小波5重分解结果

a—理论重力异常;b~f—小波分解1~5阶逼近;g~k—小波分解1~5阶细节

Fig.1   Result of simple models with 5 level wavelet decomposition

a—theoretical gravity anomaly;b~f—1st~5th order approximation of wavelet decomposition;g~k—1st~5th order detail of wavelet decomposition


图2

图2   简单模型理论异常与小波分解异常对比

a—理论重力异常;b—理论区域异常;c—理论局部异常;d—小波恢复异常;e—小波区域异常;f—小波局部异常

Fig.2   Comparison between theoretical anomaly and wavelet decomposition anomaly

a—theoretical gravity anomaly;b—theoretical regional anomaly;c—theoretical local anomaly;d—wavelet recovery anomaly; e—wavelet regional anomaly;f—wavelet local anomaly


在复杂理论模型中,设计的测区范围为80 km×80 km的方框,网格间距为2 km,经过多次对比试验,选择效果较好的db10小波4重分解结果,如图3所示,其中图3a为复杂模型产生的重力异常、图3b~3e分别为第1~4层模型产生的重力异常、3f~3i分别为重力异常小波分解1~4阶细节。各场源体产生的异常编号见图3a所示。本例中小波恢复异常(即小波分解4阶逼近与1~4阶细节之和)结果与图3a完全一致,同样证明了重力异常小波多尺度分解公式成立,且验证了本例中小波分解的可靠性,具体图示不再给出。下面分析小波多尺度分解结果与各层理论异常的对应关系,即重力异常多重分解性质,对比图3b和3f,1阶细节特征尺度为2 km,与第1层模型产生的异常特征尺度相匹配,故较好地分离出①~③号异常;2阶细节特征尺度为4 km,较为完整地提取出④、⑤号异常,但因为尺度相近的原因,混入了③、⑥号异常部分信息;观察图3h可见,其主要反映了⑥号异常特征,由于特征尺度明显增大,第1层模型异常的信息在这里基本完全消失;4阶小波细节特征尺度达到16 km,故第4层模型产生的⑦号异常得以呈现,但由于与⑥号异常尺度混叠,依然留有⑥号异常的部分信息;综合以上情况,结合尺度场源深度转换律,可推估第1层模型的比例系数α约为0.35,第2层模型的比例系数α约为0.5,第3层模型的比例系数α也在0.5左右。总体来看,小波分解1~4阶细节分别重点突出了第1~4层模型产生的重力异常,但各层异常尺度存在部分重叠,导致各阶小波细节存在一定的信息混叠现象。这里已知了各层模型的埋藏深度,据此估算了比例系数,但在比例系数未知的情况下,很难准确地推估地下源体的埋藏深度。以上分析也反映出了重力位场小波多尺度分解性质的局限性。

图3

图3   复杂模型理论异常与小波分解异常对比

a—理论重力异常;b~e—第1~4层模型重力异常;f~i—小波分解1~4阶细节

Fig.3   Comparison between theoretical anomaly of complex models and wavelet decomposition anomaly

a—theoretical gravity anomaly;b~e—gravity anomaly of 1st~4th layer model;f~i—1st~4th order detail of wavelet decomposition


经过上面两个算例分析,验证了小波多尺度分解方法的正确性,但同时也暴露了其存在两个方面的局限:一是多尺度分解得到的结果存在一定的信息混叠现象,二是比例系数难以准确推估。目前还没有一种重力位场分离方法可以完成准确地将地下多层介质产生的重力异常剥离开来,小波多尺度分解方法也是如此,但其实现了从位场二分到多重分解的跨越,已是较传统方法的一大进步,至于分离结果存在的信息混叠现象,本文认为可能与低阶小波细节不变准则有一定的关联,即当测区的网格间距δ保持不变时,小波细节的尺度以2的整数次幂递增且各阶细节固定不变,这将导致垂向分辨率也快速衰减,那么分离结果特别是深部的分离结果将会产生信息混叠的现象,本文建议根据预估的目标层深度适当调整格网间距,或与其他位场分离方法结合,将得到的小波细节进一步分离。至于比例系数难以准确推估的局限性,本文建议通过大量理论模型计算来统计常规形状密度体的比例系数,进而根据异常形态和先验知识选择合适的比例系数,并根据计算结果反复修正比例系数,直至得到满意结果。

4 应用实例分析

为了检验小波多尺度分解方法及其性质在实际资料中的应用效果,本文与万荣胜等[37]用插值切割法在南沙群岛中北部空间重力异常的分离结果进行对比。数据来源于国际重力局官网发布的WGM 2012模型数据,采用克里金方法网格化为2 km×2 km格网数据,对该数据进行了db10小波4重分解,获取了南沙群岛中北部局部异常(1~4阶小波细节之和,图4左)、区域异常(4阶小波逼近,图4右)。

图4

图4   南沙群岛中北部重力局部异常(左)和区域异常(右)

Fig.4   Local (left) and regional (right) gravity anomalies in the Nansha Islands (partial)


根据尺度场源深度转换律可知,当格网间距为2 km时,四阶小波细节的特征尺度为16 km,根据空间重力异常总体呈现NE向条带,这里取比例系数介于球体(0.66)和脉形侵入体(0.80)之间,计算得到的地下场源体埋藏深度约为10.56~12.80 km,那么本文计算得到的局部异常可近似的视为地下10 km以上介质引起,对比本文与文献[37]中切割半径等于10 km(切割半径近似等于地下场源体埋藏深度)的计算结果,可以发现两者存在较好的一致性,且本文计算得到的区域异常更加光滑,不存在高频干扰。两种计算结果存在细微差别可能由数据来源不同和深度估算误差引起。

5 结论

本文优选db10小波开展了重力异常小波多尺度分解模型试验和应用实例分析。针对重力异常小波多尺度分解定义及3个重要性质,设计了简单和复杂理论模型各1个,直观地验证了小波多尺度分解定义等式的成立,也证明了本文算法的正确性,基于此与传统重力位场分离方法进行了实测数据对比。通过对比分析得到以下结论:

1)当在不对重力异常数据进行抽稀或加密,且小波函数及消失矩保持不变的前提下,增加小波分解阶次不会导致低阶细节的任何变化,也就是说小波细节能提取的异常尺度固定不变,这种性质为小波细节的特征尺度与重力异常的特征尺度之间关系的建立奠定了重要基础。

2)当网格间距δ恒定时,小波细节的尺度以2的整数次幂递增,这将导致垂向分辨率也快速衰减,容易造成分离结果信息混叠现象。本文建议根据预估的目标层深度适当调整格网间距,或与其他位场分离方法结合,将得到的小波细节进一步分离。

3)当地下存在多层源体,且深部场源体重力异常比上一层场源体重力异常大至少一个阶次时,设定适合的测点间距或网格间距,通过小波多尺度分解可实现各层异常的分离,并通过尺度场源深度转换定律,可大致推估场源体的埋藏深度,这里不能准确得到埋藏深度的原因是比例系数的确定是一个难题。本文建议通过大量理论模型计算来统计常规形状密度体的比例系数,进而根据异常形态和先验地质知识选择合适的比例系数,并根据计算结果反复修正比例系数,直至得到满意结果。

4)将小波多尺度分解方法及其性质成功地运用于南沙群岛中北部空间重力异常的分离,得到了与插值切割法较为一致的结果,两者互相印证,且本文获取的区域重力异常更为光滑,不存在高频干扰。

致谢

感谢杨文采和侯遵泽等前辈在重力位场小波多尺度分解方法理论和实践方面做出的突出贡献,感谢审稿专家提出的宝贵意见和编辑部的大力支持!

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