三轴稳定平台式航空重力测量数据处理方法研究与实现

图1 三轴稳定平台式航空重力测量数据改正与滤波计算处理流程

Fig.1 Flow chart of calculation and processing of correction and filtering of airborne gravity measurement data of three-axis stabilized platform

航空重力测量系统测得的原始观测重力G_z为:

(1)

G_{z} = f_{z}^{1} - f_{z}^{0} + G_{b},

其中:G_b为航空重力测量系统测量前所处位置的重力基准值, $f_{z}^{1}$ 为比力测量值, $f_{z}^{0}$ 为比力测量初值。

令f_z= $f_{z}^{1}$ - $f_{z}^{0}$ ,则:

(2)

G_{z} = f_{z} + G_{b} 。

通过GNSS测量获得载体运动产生的加速度,进一步可获得空间重力值G_f为:

(3)

\begin{array}{l} G_{f} = f_{z} + G_{b} - H - G_{n} - G_{e} - G_{d} + Δ G_{g} + \\ Δ H + Δ F_{p}, \end{array}

其中:H是WGS84坐标系下GNSS测得的飞机载体的高度,G_n是正常场重力值,G_e是由GNSS的位置和速度计算的厄特缶斯(Eotvos)改正值,G_d是由参考测量计算的重力仪零漂量,ΔF_p是载体飞行状态对航空重力数据引起的误差,ΔG_g是重力仪的随机噪声,ΔH是GNSS测量的随机噪声。

根据平台式航空重力测量系统特点,在测量过程中其平台处于非理想水平状态(主要是由稳定平台的安装误差与飞行状态下稳定平台的测量误差引起),其垂向传感器的观测值(f_z)并不完全是垂向分量,因而需要利用稳定平台的安装误差角度和平台测量倾斜角来进行改正,同时对水平加速度观测值(f_x、f_y)也进行改正。其数学模型为:

(4)

\begin{array}{l} G_{f} = f_{z}^{'} + G_{b} - \overset{\cdot \cdot}{H}' - G_{n} - G_{e} - G_{d} + f_{x}^{'} + f_{y}^{'} + \\ Δ G_{g} + Δ H + Δ F_{p}, \end{array}

其中: $f_{z}^{'}$ 为垂向传感器修正后垂向分量。 $f_{x}^{'}$ 为x轴方向水平加速度改正后的垂向分量; $f_{y}^{'}$ 为y轴方向水平加速度改正后的垂向分量。

1.1 平台式航空重力测量数据各项改正

平台式航空重力测量数据改正主要包括:正常场改正、空间(高度)改正、厄特缶斯改正、偏心改正、零漂改正、水平加速度改正和垂向加速度改正。

1.1.1 正常重力场改正与空间(高度)改正

自由空间的正常重力场G_n由参考椭球面上的正常重力场G₀和高度改正G_h两部分组成:

(5)

G_{n} = G_{0} - G_{h} 。

参考椭球面的正常重力场采用CGS2000正常重力公式^[5]:

(6)

G_{0} = 9.7803253361 \times [\frac{1 + 0.001931852619 si n^{2} L}{\sqrt[]{1 - 0.00669433800229 si n^{2} L}}],

自由空间改正的计算公式为^[5]:

(7)

\begin{array}{l} G_{h} = 0.3086 (1 + 0.0007 \cos 2 L) (h - Δ h - h_{b}) - \\ 0.72 \times 10^{- 7} (h - Δ h - h_{b}) (10^{- 5} m / s^{2}), \end{array}

其中:L为测点大地纬度,h为测点大地高;Δh为大地高的偏心修正;h_b为基准点大地水准面高。

1.1.2 零点漂移改正

载体在每航次重力测量开始前和结束后都要在基准点进行一定时间的静态测量,分别称为前校测量和后校测量。由于重力仪元器件的温度变化等原因会引起同一观测点测量值出现漂移,对漂移所做的改正即为零点漂移改正。当前校、后校时间间隔不长时,可以将零点漂移看作是线性变化,即零点漂移改正G_d为:

(8)

G_{d} = - \frac{f_{z}^{1} - f_{z}^{0}}{t_{1} - t_{0}} (t - t_{0}),

或

(9)

G_{d} = - [(f_{z}^{1} - f_{z}^{0}) - (g_{b}^{1} - g_{b}^{0})] - \frac{t - t_{0}}{t_{1} - t_{0}} 。

如果前校与后校基准点为同一点位置,改正用式(8),前校与后校基准点为不同点,则改正用式(9)。其中, $f_{z}^{0}$ 、 $f_{z}^{1}$ 分别是前校、后校的加速度计垂向分量观测值; $g_{b}^{0}$ 、 $g_{b}^{1}$ 分别是前校、后校基准点处的重力场值;t₀、t₁分别是前校、后校加速度计垂向分量观测值对应的时间;t是航行测量时加速度计垂向分量观测值对应的时间。

1.1.3 厄特缶斯改正

在航空重力测量时,重力仪不仅受到地球自转产生的离心力的影响,还受到载体速度产生的附加离心力的影响,这种影响就是厄特缶斯效应。厄特缶斯改正的数学模型是由匈牙利学者Eotvos首先推导并于1919年用实验方法证实,其严密计算公式为^[5,6]:

(10)

G_{e} = 2 ω \cos L \cdot V_{E} + \frac{V_{E}^{2}}{(M + h)} + \frac{V_{N}^{2}}{(N + h)},

其中:下标E、N分别表示当地水平坐标系的东、北方向,ω为地球的自转角速度,L为地心纬度,h为测点大地高,M、N为椭球子午与卯酉曲率半径。

1.1.4 偏心改正(姿态改正)

航空重力测量中GNSS天线安装位置位于飞机的上部,而重力仪安装在机舱内部,因此重力传感器中心与GNSS天线相位中心不一致。载体飞行产生俯仰和横滚运动时,重力传感器中心与GNSS天线相位中心的速度和加速度也存在差异。为了计算重力传感器中心处的各种扰动加速度,需在GNSS确定的相应量中进行偏心改正。偏心改正除位置因素外,主要源于飞机姿态变化,故也称之为姿态改正^[4]。

如图2所示,建立载体直角坐标系(b系,S^b=[O^b;x^b,y^b,z^b];原点O^b在载体中心,x^b指向载体前进路线的右方向,y^b指向载体前进方向,z^b与x^b、y^b构成右手系)。设GNSS天线相位中心RG在S^b中的坐标为 $x_{RG}^{b}$ 、 $y_{RG}^{b}$ 、 $z_{RG}^{b}$ ,重力传感器中心M在S^b中的坐标为 $x_{m}^{b}$ 、 $y_{m}^{b}$ 、 $z_{m}^{b}$ 。

图2

图2 载体坐标系中的重力传感器和GNSS天线位置坐标

Fig.2 Gravity sensor and GNSS antenna position coordinate diagram in the carrier coordinate system

S^b中m和RG的位置矢量之差Δr^b为:

(11)

Δ r^{b} = r_{m}^{b} - r_{RG}^{b} = [\begin{array}{l} d x^{b} \\ d y^{b} \\ d z^{b} \end{array}] = [\begin{array}{l} x_{m}^{b} - x_{RG}^{b} \\ y_{m}^{b} - y_{RG}^{b} \\ z_{m}^{b} - z_{RG}^{b} \end{array}],

其中: $r_{m}^{b}$ 、 $r_{RG}^{b}$ 分别为重力传感器中心和GNSS天线相位中心在S^b中的位置矢量;dx^b、dy^b、dz^b为Δr^b的3个分量。

利用方向余弦矩阵 $C_{b}^{n}$ 可得当地地理坐标系n下的位置矢量之差:

(12)

Δ r^{n} = C_{b}^{n} Δ r^{b}

当地地理坐标系n可通过绕载体坐标系Z轴转动方位角A、绕y轴转动俯仰角θ和绕x轴转动滚动角ϕ来实现其到载体坐标系的转换,坐标转换矩阵为:

(13)

C_{b}^{n} = [\begin{array}{l} R_{11} & R_{12} & R_{13} \\ R_{21} & R_{22} & R_{23} \\ R_{31} & R_{32} & R_{33} \end{array}] = [\begin{array}{l} \cos θ \cos A & - \cos ϕ \sin A + \sin ϕ \sin θ \cos A & \sin ϕ \sin A + \cos ϕ \sin θ \cos A \\ \cos θ \sin A & \cos ϕ \cos A + \sin ϕ \sin θ \sin A & - \sin ϕ \cos A + \cos ϕ \sin θ \sin A \\ - \sin θ & \sin ϕ \cos θ & \cos ϕ \cos θ \end{array}] 。

为了提高航空重力测量的精度,通过偏心改正来对垂向加速度进行改正。利用式(12)和(13)求得位置的偏心改正后,直接利用数字差分方法计算出相应的速度和加速度的偏心改正:

(14)

Δ {\overset{\cdot}{r}}^{n} (t) = \frac{Δ r^{n} (t + 1) - Δ r^{n} (t - 1)}{2 T},

(15)

Δ {\overset{\cdot \cdot}{r}}^{n} (t) = \frac{Δ {\overset{\cdot}{r}}^{n} (t + 1) - Δ {\overset{\cdot}{r}}^{n} (t - 1)}{2 T},

其中:T为数据的采样周期。

5) 水平加速度改正

载体飞行时,稳定平台并不能保证完全水平,同时载体运动过程中会产生水平方向上的干扰加速度。为消除重力仪平台偏离水平引起的误差,称为水平加速度改正。

如图3所示,当飞行测量时稳定平台偏离水平X轴的倾角误差为α₁,水平正轴方向下倾角为正,假设重力仪垂向传感器相对于稳定平台X轴安装偏角为β_z,则X轴方向的水平加速度投影在垂向方向的改正为:

(16)

f_{x}^{'} = f_{x} \sin (α_{1} + β_{z}),

其中:f_x为x轴水平加速度。当平台误差角为角秒级时,一个方向倾角引起的水平加速度改正为:

(17)

f_{x}^{'} = f_{x} \sin (α_{1} + β_{z}) \approx f_{x} (α_{1} + β_{z})

图3

图3 水平加速度x轴方向改正角度

Fig.3 Horizontal acceleration correction diagram

考虑相互垂直的两个水平方向的平台倾角(假设从平台水平轴正方向看过去,逆时针旋转角度为正,顺时针旋转角度为负),则水平加速度修正可表示为:

(18)

f_{x}^{'} + f_{y}^{'} \approx - f_{y} (α_{2} + β_{z}) + f_{x} (α_{1} + λ_{z}),

其中:稳定平台偏离水平y轴的倾角误差为α₂,λ_z为垂向传感器相对于稳定平台y轴安装偏角。

6) 垂向加速度改正

对于差分GNSS获得的载体加速度,经过载体姿态变化引起的垂向加速度改正后如下式:

(19)

\overset{\cdot \cdot}{H}' = \overset{\cdot \cdot}{H} + Δ {\overset{\cdot \cdot}{r}}^{n} (t),

对于重力传感器获得的比力在垂向分量方向改正为下式:

(20)

f_{z}^{'} = f_{z} \times \cos (β_{z} + α_{1}) \times \cos (λ_{z} + α_{2}) 。

1.2 航空重力测量数据的滤波方法

航空重力测量数据经过各项改正后还包含有载体的高频振动将对测量数据产生噪声影响。为了在强噪声背景下提取微弱的重力异常信号,需要采用一些滤波方法,通常采用有限冲激响应FIR(finite impulse response)低通滤波^[7,8,9]和Kalman平滑滤波。

1) 航空重力数据处理的窗函数FIR低通滤波

窗函数FIR低通滤波器是采用长度为M的窗函数w(n)对无限长的理想单位脉冲响应h_d(n)进行截断,从而得到逼近理想滤波器频率响应的线性相位FIR滤波器,其单位脉冲响应为

(21)

h (n) = h_{d} (n) w (n) = \{\begin{array}{l} h_{d} (n) w (n) & 0 \leq n \leq M - 1 \\ 0 & 其他 \end{array}

其中:窗函数w(n)必须中心偶对称,即w(n)=w(M-1-n)。常用的窗函数有矩形窗、三角窗、汉宁窗、汉明窗、布莱克曼窗等,表1是几种窗函数的性能比较。

表1 几种窗函数的性能比较

Table 1 Performance comparison of several window functions

窗函数	主瓣宽度	旁瓣峰值衰减/dB	阻带最小衰减/dB
矩形	4π/M	-13	-21
三角	8π/M	-25	-25
汉宁	8π/M	-31	-44
海明	8π/M	-41	-53
布莱克曼	12π/M	-57	-74
凯泽(β=7.865)	10π/M	-57	-80

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利用窗函数主瓣宽度的一半等于滤波器的归一化截止频率(采样率为F_s)的方法来估算窗函数长度,滤波器的长度与其截止频率f_c之间有如下关系:

(22)

M = \frac{2 F_{s}}{f_{c}} 。

2) 航空重力数据处理的Kalman平滑滤波

笔者所采用的Kalman平滑算法是将高度、垂向加速度、重力异常、重力异常一阶导数作为被估计状态,根据飞行时传感器的受力状态构建数学模型,并用最小方差准则进行最优估计,进而去除重力仪和GNSS测量的随机噪声^[10,11,12]。

首先根据式(3)及牛顿第二定律进行改写,可得:

(23)

δ g = f_{z}^{'} + G_{b} - \overset{\cdot \cdot}{H}' - G_{n} - G_{e} - G_{d} + f_{x}^{'} + f_{y}^{'},

(24)

\overset{\cdot}{H}' = W

此外,重力异常噪声可以用随机统计模型来描述,本文采用如下的二阶近似模型:

(25)

δ \overset{\cdot \cdot}{g} = μ q_{g},

(26)

δ \overset{\cdot}{g} = U,

其中:μ是噪声强度,q_g是白噪声。

联立式(23)~(26),并作相应变换后即可得到状态方程:

$\{\begin{array}{l} \overset{\cdot}{H}' = W \\ \overset{\cdot}{W} = f_{z}^{'} + G_{b} - \overset{\cdot \cdot}{H}' - G_{n} - G_{e} - G_{d} + f_{x}^{'} + f_{y}^{'} - δ g \\ δ \overset{\cdot}{g} = U \\ \overset{\cdot}{U} = μ q_{g} \end{array}$

即被估计状态为x=[H',W,δg,U]^T,根据卡尔曼平滑算法,进行计算得到解算后的空间重力异常值。

2 航空重力数据处理与分析

2017年11月在某海域进行了新研制的三轴稳定平台航空重力仪的首次测试飞行,完成了EW方向的3个架次和SN方向的一个架次重复线飞行。通过研制的平台式航空重力数据处理软件对测量的数据进行了处理与分析。航空重力测量数据经过各项改正及FIR低通滤波后获得空间重力异常,经水平调整后进行内符合精度统计^[13,14],并和GT航空重力测量系统同位置测量获得的空间重力异常进行了对比。

第1个架次为EW向的重复线飞行,获得3条有效测线,100 s低通滤波(采用汉宁窗)后其内符合精度为0.679×10^-5 m/s²(如图4a),与GT同位置的测线9140外符合精度为0.641×10^-5 m/s²(如图4b)。

图4

图4 第1个架次100 s低通滤波后内符合(a)和外符合精度(b)

Fig.4 The internal (a) and external (b) accord accuracy of the first flight repeat lines after 100 s low-pass filtering

第2个架次为SN向的重复线飞行,获得4条有效测线,100 s低通滤波(采用汉宁窗)后其内符合精度为1.420×10^-5 m/s²(如图5a),以GT同位置的测线1170外符合精度为1.389×10^-5 m/s²(如图5b)。

图5

图5 第2个架次100 s低通滤波后内符合(a)和外符合精度(b)

Fig.5 The internal (a) and external (b) accord accuracy of the second flight repeat lines after 100 s low-pass filtering

第3个架次为EW向的重复线飞行,获得4条有效测线,100 s低通滤波(采用汉宁窗)后内符合精度为0.676×10^-5 m/s²(如图6a),以GT同位置的测线9140外符合精度为0.638×10^-5 m/s²(如图6b)。第4个架次为EW向的重复线飞行,获得5条有效测线,100 s低通滤波(采用汉宁窗)后其内符合精度为0.650×10^-5 m/s²(图7a),以GT同位置的测线9140外符合精度为0.637×10^-5 m/s²(图7b)。

图6

图6 第3个架次100 s低通滤波后内符合(a)和外符合精度(b)

Fig.6 The internal (a) and external (b) accord accuracy of the third flight repeat lines after 100 s low-pass filtering

图7

图7 第4个架次100 s低通滤波后内符合精度(a)和外符合精度(b)

Fig.7 The internal (a) and external (b) accord accuracy of the fourth flight repeat lines after 100 s low-pass filtering

针对不同FIR窗函数低通滤波器,设置同样的滤波参数(低通截止频率100 s),对第4个架次数据进了低通滤波处理分析,汉宁窗、海明窗、布莱克曼窗和凯塞窗处理结果相当,其内符合精度都在0.66×10^-5 m/s²左右。三角窗和矩形窗处理结果偏大(图8)。

图8

图8 第4个架次不同窗函数FIR低通滤波后内符合精度

Fig.8 The internal accord accuracy of the fourth flight repeat lines after FIR low-pass filtering with different windows function

第1架次、第3架次和第4架次所有EW向的重复线内符合精度为0.693 ×10^-5 m/s²(图9a),以GT同位置的测线9140外符合精度为0.679×10^-5 m/s²(图9b)。

图9

图9 所有东西向重复线100 s低通滤波后内符合精度(a)和外符合精度(b)

Fig.9 The internal (a) and external (b) accord accuracy of all repeat lines along east-west direction after 100 s low-pass filtering

同样对4个架次的数据经过各项改正及Kalman滤波后获得空间重力异常,经水平调整后进行内符合精度统计,并和GT航空重力测量系统同位置测量获得的空间重力异常进行了对比。第1个架次Kalman平滑滤波后内符合精度为0.550×10^-5 m/s²(图10a),外符合精度为0.532×10^-5 m/s²(图10b);第2个架次Kalman平滑滤波后内符合精度为1.372×10^-5 m/s²(图11a),外符合精度为1.354×10^-5 m/s²(图11b);第3个架次Kalman平滑滤波后内符合精度为0.663×10^-5 m/s²(图12a),外符合精度为0.650×10^-5 m/s²(图12b);第4个架次Kalman平滑滤波后内符合精度为0.611×10^-5 m/s²(图13a),外符合精度为0.605×10^-5 m/s²(图13b)。

图10

图10 第1个架次Kalman滤波后内符合精度(a)和外符合精度(b)

Fig.10 The internal (a) and external (b) accord accuracy of the first flight repeat lines after Kalman filtering

图11

图11 第2个架次Kalman滤波后内符合精度(a)和外符合精度(b)

Fig.11 The internal (a) and external (b) accord accuracy of the second flight repeat lines after Kalman filtering

图12

图12 第3个架次Kalman滤波后内符合精度(a)和外符合精度(b)

Fig.12 The internal (a) and external (b) accord accuracy of the thrid flight repeat lines after Kalman filtering

图13

图13 第4个架次Kalman滤波后内符合精度(a)和外符合精度(b)

Fig.13 The internal (a) and external (b) accord accuracy of the fourth flight repeat lines after Kalman filtering

第1架次、第3架次和第4架次所有EW向的重复线内符合精度为0.590 ×10^-5 m/s²(图14a),以GT同位置的测线9140外符合精度为0.581×10^-5 m/s²(图14b)。

图14

图14 所有东西向重复线Kalman滤波后内符合精度(a)和外符合精度(b)

Fig.14 The internal (a) and external (b) accord accuracy of all repeat lines along east-west direction after Kalman filtering

3 结论与建议

针对新研制的三轴稳定平台式航空重力测量系统首次获得的重力数据,进行了数据处理的方法研究及软件研制,并对处理后的数据进行了分析对比。对测量数据进行各项改正和FIR低通滤波(100 s)后,其内符合精度达到0.693×10^-5 m/s²,通过Kalman平滑滤波内符合精度达到0.590×10^-5 m/s²。通过数据处理后的结果分析对比,研制的稳定平台式航空重力数据处理软件达到了预期效果, 实现了国产航空重力测量系统配套软件从无到有的突破。

低频噪声与有用信号强度相当时,低通滤波器效果较差且其对过渡带内的噪声不能有效滤除。Kalman平滑作为一种最优估计方法,可对全频带内的误差进行修正。结合FIR和Kalman滤波的特点,采用级联滤波的方法提高测量数据的分辨率,有待进一步研究。

(本文编辑:王萌)

致谢:

本次软件研制及数据分析对比得到了北京自动化控制设备研究所和东南大学的相关老师及技术人员大力支持,在此表示诚挚的谢意。

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[J]. Progress in geophysics, 2012,27(4):1717-1722.

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蔡体菁, 周薇, 鞠玲玲 .

平台式重力仪测量数据的卡尔曼滤波处理

[J]. 中国惯性技术学报, 2015,23(6):718-720.

Cai T

, Zhou

, Ju L

Kalman filter processing of platform gravimeter measurement data

[J]. Chinese Journal of Inertial Technology, 2015,23(6):718-720.

[13]

郭志宏, 熊盛青, 周坚鑫 , 等.

航空重力重复线测试数据质量评价方法研究

[J]. 地球物理学报, 2008,51(5):1538-1543.

DOI: Magsci [本文引用: 1]

为了量化评估航空重力系统的性能指标，通常采用多次往返的重复线测量方式来测试航空重力仪动态测量的重复性和一致性，但现有规范中没有明确针对航空重力重复线测试数据质量的评估准则，本文研究总结了航空重力重复线测试数据均方差精度计算方法，依据重复线测试数据均方差内、外符合精度的计算结果，可以更为客观地评估仪器的动态测量精度指标和工作状态.

Guo Z

, Xiong S

, Zhou J

, et al.

Study on the evaluation method of data quality for airborne gravity repeat line test

[J]. Journal of Geophysics, 2008,51(5):1538-1543.

[14]

姜作喜, 张虹, 郭志宏 .

航空重力测量内符合精度计算方法

[J]. 物探与化探, 2010,34(5):672-676.

为了评估航空重力系统的性能指标，通常采用对一条测试线多次往返飞行计算各条重复测试线内符合精度的方法。笔者研究了一种较准确的计算各重复线对应点的方法，并在对应点处采用插值方法计算其重力值，利用重复线上对应点的重力值进行均方差计算可以得到精度较高的内符合精度值。

Jiang Z

, Zhang

, Guo Z

Calculating method of internal coincidence accuracy in airborne gravimetry

[J]. Geophysical and geochemical exploration, 2010,34(5):672-676.