起伏地形下地面瞬变电磁法三维正演数值模拟研究

图1 计算采用的Yee晶胞格式

以差分代替微分就可以对基本方程进行求解,由于Euler前向差分是有条件稳定的,对离散时间步的要求比较严格,因而在进行空间离散时采用后向差分。均匀网格划分时,电(磁)场的时间采样恰好在两相邻磁(电)场采样时刻的中心,因而在进行时间离散时采用中心差分。以f(x,y,z,t)表示电场或磁场在直角坐标系中的某一分量,采用表1中给出的时间和空间采样约定,得到电磁场各分量一阶偏导数的差分表达式:

表1 Yee元胞中的各分量的空间和时间采样约定

电磁场分量	空间分量采样			时间采样
电磁场分量	x坐标	y坐标	z坐标	时间采样
E_x	i+1/2	J	k
E_y	i	j+1/2	k	n
E_z	i	J	k+1/2
H_x	i	j+1/2	k+1/2
H_y	i+1/2	J	k+1/2	n+1/2
H_z	i+1/2	j+1/2	k

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(8)

\frac{\partial f (x, y, z, t)}{\partial x} |_{x = i Δ x} = \frac{f^{n} (i + 1 / 2, j, k) - f^{n} (i - 1 / 2, j, k)}{Δ x} + O (Δ x),

(9)

\frac{\partial f (x, y, z, t)}{\partial y} |_{y = j Δ y} = \frac{f^{n} (i, j + 1 / 2, k) - f^{n} (i, j - 1 / 2, k)}{Δ y} + O (Δ y),

(10)

\frac{\partial f (x, y, z, t)}{\partial z} |_{z = k Δ z} = \frac{f^{n} (i, j, k + 1 / 2) - f^{n} (i, j, k - 1 / 2)}{Δ z} + O (Δ z),

(11)

\frac{\partial f (x, y, z, t)}{\partial t} |_{t = nt} = \frac{f^{n + 1 / 2} (i, j, k) - f^{n - 1 / 2} (i, j, k)}{Δ t} + O (Δ t),

(12)

\begin{array}{l} B_{z}^{n + 1 / 2} (i + \frac{1}{2}, j + \frac{1}{2}, k) = B_{z}^{n + 1 / 2} (i + \frac{1}{2}, j + \frac{1}{2}, k + 1) + \\ Δ z [\frac{B_{x}^{n + 1 / 2} (i + 1, j + \frac{1}{2}, k + \frac{1}{2}) - B_{x}^{n + 1 / 2} (i, j + \frac{1}{2}, k + \frac{1}{2})}{Δ x} + \\ \frac{B_{y}^{n + 1 / 2} (i + \frac{1}{2}, j + 1, k + \frac{1}{2}) - B_{y}^{n + 1 / 2} (i + \frac{1}{2}, j, k + \frac{1}{2})}{Δ y}] 。 \end{array}

磁场的z分量采用了式(12)的离散形式,构成了瞬变电磁场在有耗媒质中传播的电场和磁场的时域有限差分格式。

2 结果验证

采用均匀半空间模型进行计算和对比。均匀半空间介质电阻率为100 Ω·m,发射回线源为600 m×600 m,发射电流为1 A,计算模型中研究区域采用10 m的均匀网格。图2a为均匀半空间解析解和三维时域有限差分(FDTD)感应电动势$\partial$B_z/$\partial$t衰减曲线对比,图2b为相对误差,可以看出,两者之间感应电动势衰减曲线重合较好,相对误差均小于5%,0.003 s时间之前段均基本小于2%。由此可认为,笔者采用的三维时域有限差分(FDTD)正演方法计算精度较高。

图2

图2 本文模拟结果(FDTD)与半空间解析解对比

3 地形影响特征正演模拟分析

起伏地形表现为沟谷和山峰特征,本次研究主要分析以上地形条件下的地面瞬变电磁信号特征。模型设计中发射回线源为水平状的正方形,沟谷和山峰地形分别位于回线中心区域,采用大回线回线内工作装置(当前采用该装置在回线源中心1/94/9面积区域进行数据采样),通过正演模拟计算地表面附近的电磁响应,如图3所示。

图3

图3 地形模型

3.1 沟谷地形均匀介质模型

图4所示为沟谷模型的剖面,模型介质的ρ=100 Ω·m,发射回线为600 m×600 m,发射电流为1 A,沟谷采用规则的楼梯台阶来模拟(单个台阶高差及水平宽度均为10 m),深度H=100 m,底部宽度为80 m,测点命名1、2至5,分别示意沟肩(距沟边50 m)、沟边、半坡、沟脚、沟底中间位置。

图4

图4 沟谷模型与测点位置关系剖面示意

图5为沟谷模型与水平地形模型不同位置的感应电动势$\partial$B_z/$\partial$t响应曲线(水平地形以上测点均位于地表z=0位置)。从图中可以看出,沟肩位置与水平地形的感应电动势二次场响应曲线基本重合,两者差异甚微;沟边测点与水平地形的感应电动势二次场响应曲线早期存有较小差异,晚期基本重合;半坡测点谷与水平地形的感应电动势二次场响应曲线早期差异略有增大,晚期重合;沟脚测点与水平地形的感应电动势二次场响应曲线早期差异较明显,晚期重合;沟底中间测点与水平地形的感应电动势二次场响应曲线早期差异较大,晚期重合。随沟肩逐渐至沟谷底部,整体呈差异逐渐增大的趋势,即“低阻异常”幅值增大,地形影响随沟谷的深度的增加而增大。

图5

图5 不同测点感应电动势衰减曲线

早期信号畸变又表现为两种特征,早期“前段”较水平地形表现为信号强度“减弱”的特征,且沟谷越深信号强度“减弱”越大;早期“后段”信号较水平地形表现为信号强度“增强”的特征,且沟谷越深信号强度“增强”越大,转换为视电阻率后表现为“低阻异常”特征。

为了更明显地展现地形影响特征,引入地形影响因子参数α,即起伏地形下测点的ρ_s与水平地形对应的ρ_s比值(以上均为晚期视电阻率):

(13) $\alpha(t)=\rho_{s}(起伏地形)(t)/\rho_{s}(水平地形)(t)。$

图6为不同沟谷模型地形影响因子断面, 图上端为地形示意。可以看出:早期“前段”信号沟谷地形为正影响,即“高阻异常”;早期“后段”信号地形影响因子小于1,说明“早后期”信号沟谷地形为负影响,即“低阻异常”;至晚期信号地形影响因子逐渐趋近于1,说明晚期地形影响逐渐较小,可以忽略。另外,沟谷规模越大,地形影响越严重,且沿沟谷中心向左、右两侧延伸时地形影响逐渐减弱。

图6

图6 不同规模沟谷地形影响断面

3.2 山峰均匀介质模型

图7所示为山峰模型剖面,介质ρ=100 Ω·m,发射回线源为600 m×600 m,发射电流为 1 A,其剖面示意图相对高差为H=100 m,测点命名1、2至5,分别示意峰底(距山峰边50 m,)、峰脚、半坡、峰顶、峰顶中间位置(从左向右依次)。

图7

图7 山峰模型与测点位置关系剖面示意

图8为山峰模型与水平地形模型不同位置的感应电动势$\partial$B_z/$\partial$t曲线。可以看出:峰底位置,两者的感应电动势二次场响应曲线基本重合,差异甚微;峰脚位置,两者的响应曲线早期存有较小差异,晚期基本重合;半坡位置,两者的感应电动势二次场响应曲线早期差异略有增大,晚期亦重合;峰顶位置,两者的响应曲线早期差异较明显,晚期亦重合;峰顶中间位置,响应曲线早期差异较大,晚期亦重合。随峰底至峰顶中间,整体呈差异逐渐增大的趋势。

图8

图8 不同测点感应电动势衰减曲线

图9为不同山峰模型地形影响因子电性断面(采用式(13)生成)。可以看出:早期“前段”信号地形影响因子小于1,为“负影响”,即生成“低阻异常”;早期“后段”信号地形影响因子大于1,为“正影响”,即生成“高阻异常”;至晚期信号地形影响因子逐渐趋近于1,说明至晚期地形影响逐渐较小,可以忽略。另外,如果山峰规模越大,地形影响表现的越严重,且山峰中心向左、右两侧延伸时地形影响逐渐减弱。

图9

图9 不同规模山峰地形影响断面

4 地形影响实测数据分析

实例1位于陕西省彬县的某侏罗系煤田矿井,勘探目标层埋深约700 m,施工采用瞬变电磁法大回线装置,边长为700 m×700 m。

实测数据生成的视电阻率拟断面如图10所示(受关断时间影响,导出的实测数据早期前段已被截去),图上方的红色倒三角及编号示意测点及地表标高,可见断面横跨深度约200 m沟谷,沟谷两侧地形相对较为平坦,沟谷的正下方有明显的“低阻异常”分布,且分布形态与沟谷地形有密切关联。

图10

图10 陕西省彬县某煤田矿井瞬变电磁法视电阻率拟断面

实例2位于山西省河津市王家岭矿井,探测目标层最大埋深约600 m,施工亦采用瞬变电磁法大回线装置,边长为600 m×600 m。实测数据生成视电阻率拟断面如图11所示,通过示意地表标高的红色倒三角可看出,地形呈“波状”起伏,存有3处连续分布的沟谷,其左、右两侧的沟谷规模较大,深度约150 m沟谷,沟谷与 “低阻异常”有明显的相关性,且沟谷规模越大低阻异常幅值越强。以上实测数据反映情况同正演结果近一致,亦可说明本文正演计算结果正确。

图11

DOI:10.3969/j.issn.1001-1749.2008.02.015 URL [本文引用: 1]

图11 山西王家岭矿井瞬变电磁法视电阻率拟断面

5 结论

笔者采用时域有限差分算法对起伏地形下瞬变电磁法响应进行了正演模拟计算,依据实测数据证实本次正演模拟结果正确,得出的结论如下:

1) 起伏地形对地面瞬变电磁响应结果影响较大,推断解释时若不考虑地形因素影响亦可能导致结论错误。

2) 起伏地形条件下地面瞬变电磁响应信号,早期表现为两种特征。沟谷地形,早期“前段”数据较正常地形$\partial$B_z/$\partial$t值减弱,导致“假高阻异常”,早期“后段”数据较正常地形$\partial$B_z/$\partial$t值增强,导致“假低阻异常”;山峰地形恰好相反。

3) 地形影响特征表现为,早期影响较为严重,至晚期影响呈逐渐减弱趋势。

The authors have declared that no competing interests exist.

作者已声明无竞争性利益关系。

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