二维弹性波频率域17点差分格式及正演模拟

引用本文

岳晓鹏, 白超英, 岳崇旺. 二维弹性波频率域17点差分格式及正演模拟[J]. 物探与化探, 2017,41(2): 299-305.
YUE Xiao-Peng, BAI Chao-Ying, YUE Chong-Wang. A 17-point difference scheme for 2D frequency-domain elastic wave and modeling[J]. Geophysical and Geochemical Exploration, 2017,41(2): 299-305. 复制到剪切板

Doi:10.11720/wtyht.2017.2.16
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二维弹性波频率域17点差分格式及正演模拟

岳晓鹏^1,², 白超英¹, 岳崇旺¹

1.长安大学地质工程与测绘学院,陕西西安 710064

2.许昌学院数学与统计学院,河南许昌 461000

白超英(1959-),男,陕西延长人,教授,博导,从事地震学相关领域的研究工作。Email:baicy@chd.edu.cn

作者简介: 岳晓鹏(1981-),男,河南开封人,博士研究生,从事地震波场数值模拟研究工作。Email:yuexiaopeng001@163.com

收稿日期: 2016-07-13

基金: 国家青年自然科学基金(41504090); 中央高校基金 (310826161021)

摘要

为优化二维各向同性介质中弹性波频率域正演时阻抗矩阵的结构,减小正演所需内存,提高正演效率,在25点差分格式的基础上进行适当的简化,得到了二维弹性波频率域17点差分格式。该格式重新计算了弹性波中偏微分项和加速项的差分算子,减少了计算过程中的网格节点需求,构造了优化阻抗矩阵后的频率域正演矩阵方程;推导了纵波和横波相速度的频散公式,给出了不同泊松比条件下的频散曲线,得到了相速度误差控制范围±1%时每一横波波长内网格数需求。通过对比频散曲线和数值模拟时得到的波场快照及检波点处 U、 V分量,验证了17点差分格式与25点差分格式相比,具有稍严格的网格间距需求、相当的计算精度、略少的计算时间和更小的阻抗矩阵带宽等特点。

关键词: 弹性波方程; 有限差分; 频率域; 数值模拟

中图分类号:P631.4 文献标志码:A 文章编号:1000-8918(2017)02-0299-07

A 17-point difference scheme for 2D frequency-domain elastic wave and modeling

YUE Xiao-Peng^1,², BAI Chao-Ying¹, YUE Chong-Wang¹

1.College of Geology Engineering and Geomatics,Chang’an University,Xi’an 710064,China

2.School of Mathematics and Statistics,Xuchang University,Xuchang 461000,China

Abstract

The 2D elastic wave frequency domain 17-point difference scheme is obtained based on the simplified 25-point difference scheme so as to optimize the structure of impedance matrix,reduce required memory and improve efficiency in 2D isotropic media forward.This scheme recalculates partial differential operators in the elastic wave equation,reduces the grid node in calculation process,and constructs the forward matrix equation with optimized impedance matrix.The P-wave and S-wave velocity dispersion formulae are derived,the dispersion curves of different Poisson's ratio are given,and the grid number requirement in each horizontal wave length is given with phase velocity error range being ±1%.The frequency dispersion curve and numerical simulation of the wave field snapshots and seismic records show that the 17-point difference scheme has slightly strict grid spacing requirements, similar accuracy,slightly less computation time and smaller impedance matrix bandwidth in comparison with 25-point difference scheme.

Keyword: elastic wave equation; finite difference; frequency domain; numerical simulation

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0 引言

频率域正演模拟最早由Lysmer和Drake提出, 他们利用该方法研究了多种介质中波的传播特征^[1]; Shin等进一步发展了这种方法, 将频率域有限元法应用于地震波形反演^[2]; Jo等提出了最优化9点差分格式, 极大地减小了数值频散效应^[3]; Stekl和Pratt在Jo的基础上, 将最优化9点差分格式引入到黏弹性介质的弹性波方程^[4]; Min等提出了一种25点差分格式, 通过计算最优化系数来减小数值频散, 且减小了空间采样点数^[5]; 吴国忱教授分别将25点差分格式应用于VTI和TTI介质的正演模拟^{[6, 7]}; 谷丙洛和梁光河等提出了一种21点差分格式对二维弹性波进行了数值模拟, 该方法较25点差分格式能够保持精度相当且减少15%的计算内存和计算时间^[8]。此外, 还有一些学者在波场分解及双相介质、TTI介质等方面进行了许多的数值模拟和研究^{[6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19]}。

频率域正演模拟的优势在于它采用有限差分算子对频率域弹性波方程进行离散, 不存在时间累积误差; 由于每次使用独立的频率正演, 可以灵活选择频带, 方法更适用于并行计算。由于正演前需要建立选择适当的空间采样点数, 正演过程中需要求解大型的稀疏矩阵方程, 这也给频率域正演模拟的快速发展带来了一些阻碍。

作为一种改进, 我们在25点差分格式的基础上提出了17点差分格式的弹性波频率域正演方法, 重新计算了差分系数和频散条件, 对比了17点差分格式得到的数值解与25点差分格式数值解, 比较了二者的的阻抗矩阵。数值算例证明, 17点差分格式与25点差分格式相比, 具有稍严格的网格间距需求、相当的计算精度、略少的计算时间和更小的阻抗矩阵带宽等特点。

1 频率域17点有限差分格式推导

在二维各向同性介质中, 当体力为零时, 将时间域二维弹性波方程沿时间轴的傅里叶变换, 可得频率域弹性波方程:

$\begin{matrix} \{\begin{matrix} - ρ ω^{2} U = (λ + 2 μ) \frac{\partial^{2} U}{\partial x^{2}} + μ \frac{\partial^{2} U}{\partial z^{2}} + (λ + μ) \frac{\partial^{2} V}{\partial x \partial z}, \\ - ρ ω^{2} V = (λ + 2 μ) \frac{\partial^{2} V}{\partial x^{2}} + μ \frac{\partial^{2} V}{\partial z^{2}} + (λ + μ) \frac{\partial^{2} U}{\partial x \partial z} 。 \end{matrix} \end{matrix}$ （1）

这里, U(x, z, ω )和V(x, z, ω )分别表示水平位移和垂直位移, ω 为角频率, ρ (x, z)为介质密度, λ (x, z)=ρ ( $\begin{matrix} v_{p}^{2} \end{matrix}$ -2 $\begin{matrix} v_{s}^{2} \end{matrix}$ )和μ (x, z)=ρ $\begin{matrix} v_{s}^{2} \end{matrix}$ 为拉梅系数。

在式(1)中共有两个加速项和6个偏微分项, 图1为利用17点差分格式对这些项进行离散所需的点数分布。

对于加速项ρ ω ²U, 将全部网格点的波场值进行加权平均, 假设与计算点距离相同的网格点加权系数相同。加权系数分布如图1a所示, 表达式为:

$\begin{matrix} \begin{matrix} ρ ω^{2} U \approx ρ ω^{2} a_{1} U_{i, j} + ρ ω^{2} a_{2} (U_{i, j + 1} + U_{i + 1, j} + U_{i - 1, j} + U_{i, j - 1}) + \\ ρ ω^{2} a_{3} (U_{i + 1, j + 1} + U_{i + 1, j - 1} + U_{i - 1, j + 1} + U_{i - 1, j - 1}) + \\ ρ ω^{2} a_{4} (U_{i, j + 2} + U_{i, j - 2} + U_{i - 2, j} + U_{i + 2, j}) + \\ ρ ω^{2} a_{5} (U_{i + 2, j + 2} + U_{i + 2, j - 2} + U_{i - 2, j + 2} + U_{i - 2, j - 2}) 。 \end{matrix} \end{matrix}$ （2）

对于偏微分项 $\begin{matrix} \frac{\partial^{2} U}{\partial x^{2}} \end{matrix}$ , 加权系数分布如图1b所示, 在图中x轴所在行构造两个中心差分算子, 加权系数为a₉、a₁₀, 其他行只用一个系数为a₉(或a₁₀)中心差分算子, 最后将这5个差分算子再利用系数a₆、a₇、a₈加权平均, 表达式为:

$\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{\partial^{2} U}{\partial x^{2}} = \frac{a_{6}}{Δ x^{2}} [a_{9} (U_{i + 1, j} - 2 U_{i, j} + U_{i - 1, j}) + a_{10} (U_{i + 2, j} - 2 U_{i, j} + U_{i - 2, j})] + \\ \frac{a_{7}}{Δ x^{2}} [a_{9} (U_{i + 1, j + 1} - 2 U_{i, j + 1} + U_{i - 1, j + 1}) + a_{9} (U_{i + 1, j - 1} - 2 U_{i, j - 1} + U_{i - 1, j - 1})] + \\ \frac{a_{8}}{Δ x^{2}} [a_{10} (U_{i + 2, j + 2} - 2 U_{i, j + 2} + U_{i - 2, j + 2}) + a_{10} (U_{i + 2, j - 2} - 2 U_{i, j - 2} + U_{i - 2, j - 2})] 。 \end{matrix} \end{matrix}$ （3）

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	图1 17点加权离散示意 a— 加速项系数分布; b、c、d— 分别对应偏微分项 $\begin{matrix} \frac{\partial^{2} U}{\partial z^{2}} \end{matrix}$ , $\begin{matrix} \frac{\partial^{2} U}{\partial z^{2}} \end{matrix}$ , $\begin{matrix} \frac{\partial^{2} U}{\partial x \partial z} \end{matrix}$ 的系数分布

对于偏微分项 $\begin{matrix} \frac{\partial^{2} U}{\partial z^{2}} \end{matrix}$ , 加权系数分布如图1c所示, 在图中z轴所在列构造两个中心差分算子, 加权系数为a₉、a₁₀, 其他列只用一个系数为a₉(或a₁₀)中心差分算子, 最后将这5个差分算子再利用系数a₆、a₇、a₈将其加权平均, 表达式为:

$\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{\partial^{2} U}{\partial z^{2}} = \frac{a_{6}}{Δ z^{2}} [a_{9} (U_{i, j + 1} - 2 U_{i, j} + U_{i, j - 1}) + a_{10} (U_{i, j + 2} - 2 U_{i, j} + U_{i, j - 2})] + \\ \frac{a_{7}}{Δ z^{2}} [a_{9} (U_{i + 1, j + 1} - 2 U_{i + 1, j} + U_{i + 1, j - 1}) + a_{9} (U_{i - 1, j + 1} - 2 U_{i - 1, j} + U_{i - 1, j - 1})] + \\ \frac{a_{8}}{Δ z^{2}} [a_{10} (U_{i + 2, j + 2} - 2 U_{i + 2, j} + U_{i + 2, j - 2}) + a_{10} (U_{i - 2, j + 2} - 2 U_{i - 2, j} + U_{i - 2, j - 2})] 。 \end{matrix} \end{matrix}$ （4）

对于偏微分项 $\begin{matrix} \frac{\partial^{2} U}{\partial x \partial z} \end{matrix}$ , 加权系数a₁₁、a₁₂分布如图1d所示, 表达式为:

$\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{\partial^{2} U}{\partial x \partial z} = \frac{a_{11}}{4 ΔxΔz} (U_{i + 1, j + 1} - U_{i + 1, j - 1} - U_{i - 1, j + 1} + U_{i - 1, j - 1}) + \\ \frac{a_{12}}{16 ΔxΔz} (U_{i + 2, j + 2} - U_{i + 2, j - 2} - U_{i - 2, j + 2} + U_{i - 2, j - 2}) 。 \end{matrix} \end{matrix}$ （5）

同理, 可以构造其他几项的差分算子。

将这些差分算子代入式(1)中并进行适当整理后, 可以得到一个矩阵方程:

$\begin{matrix} A (v, ω) Y (ω) = F (ω), \end{matrix}$ （6）

这里, 假设计算区域网格数为N_z× N_x, 记N=N_z× N_x, 则A是一个2N× 2N的阻抗矩阵, Y是待求解的一个2N× 1的波场值(包含U, V), F大小为2N× 1, 表示震源项。

2 加权系数及网格频散分析

根据文献[5]的25点相速度频散公式, 可以得到17点相速度频散公式:

$\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{V_{pp h}}{V_{p}} = \frac{1}{2 π \frac{1}{G_{s}}} {\{\frac{1}{2 A} [(1 + \frac{V_{s}^{2}}{V_{p}^{2}}) B + (1 - \frac{V_{s}^{2}}{V_{p}^{2}}) \sqrt[]{C}]\}}^{\frac{1}{2}}, \\ \frac{V_{sp h}}{V_{s}} = \frac{1}{2 π \frac{1}{G_{s}}} {\{\frac{1}{2 A} [(1 + \frac{V_{p}^{2}}{V_{s}^{2}}) B + (1 - \frac{V_{p}^{2}}{V_{s}^{2}}) \sqrt[]{C}]\}}^{\frac{1}{2}} 。 \end{matrix} \end{matrix}$ （7）

其中:

B=-P_xx-P_zz; C=(P_xx+P_zz)²+4 $\begin{matrix} P_{xz}^{2} \end{matrix}$ ;

A=P_m=a₁+2a₂[cos(k_xΔ )+cos(k_zΔ )]+

4a₃cos(k_xΔ )cos(k_zΔ )+2a₄[cos(2k_xΔ )+

cos(2k_zΔ )]+4a₅cos(2k_xΔ )cos(2k_zΔ );

P_xx=-a₆ $\begin{matrix} [4 a_{9} si n^{2} (\frac{k_{x} Δ}{2}) + a_{10} si n^{2} (k_{x} Δ)] \end{matrix}$ -

8a₇a₉cos(k_zΔ )sin² $\begin{matrix} (\frac{k_{x} Δ}{2}) \end{matrix}$ -2a₈a₁₀cos(2k_zΔ )sin²(k_xΔ );

P_zz=-a₆ $\begin{matrix} [4 a_{9} si n^{2} (\frac{k_{z} Δ}{2}) + a_{10} si n^{2} (k_{z} Δ)] \end{matrix}$ -

8a₇a₉cos(k_xΔ )sin² $\begin{matrix} (\frac{k_{z} Δ}{2}) \end{matrix}$ -2a₈a₁₀cos(2k_xΔ )sin²(k_zΔ );

P_xz=-a₁₁sin(k_xΔ )sin(k_zΔ )- $\begin{matrix} \frac{a_{12}}{4} \end{matrix}$ sin(2k_xΔ )sin(2k_zΔ )。

这里, V_p为纵波速度, V_s为横波速度, V_ph为纵波相速度, V_sh为横波相速度, G_s是横波波长内的网格点数, 网格间距Δ x=Δ z=Δ , 波数k_x和k_z均为波传播方向与x轴夹角θ 的函数, a₁~a₁₂为加权系数。

计算加权系数a₁~a₁₂, 令K=1/G_s, 目标函数

$\begin{matrix} E (a_{1} ~ a_{12}) = \iint {[1 - \frac{V_{p h} (K, θ, σ, a_{1} ~ a_{12})}{V}]}^{2} dKdθ 。 \end{matrix}$ （8）

综合考虑每一横波波长内网格数的倒数K、波传播角度θ 、泊松比σ = $\begin{matrix} \frac{λ}{2 (λ + μ)} \end{matrix}$ 等因素, 采用最优化的方法可以求得一组加权系数为:

a₁=0.4214, a₂=0.0863, a₃=0.0328, a₄=-0.0023,

a₅=0.0019, a₆=0.6664, a₇=0.0694, a₈=0.0359,

a₉=0.6863, a₁₀=0.4246, a₁₁=0.9384, a₁₂=-0.0440。

根据这一组系数及相速度频散公式(6), 可以得到在不同网格大小、不同角度、不同泊松比情况下的相速度频散曲线, 图2、3分别是在泊松比为0.1的条件下, 17点和25点差分格式下的相速度频散曲线, 通过计算可以得到, 要使相速度误差控制在± 1%内, 17点差分格式每一横波波长内需要8.7个网格以上, 25点差分格式中需要3.3个网格以上; 虽然网格数需求略多一些, 但一般情况下, 常规的网格剖分都可以满足要求。

另外, 泊松比也是影响频散的一个因素, 图4、5分别是在泊松比为0.33的条件下, 两种差分格式的频散曲线, 可以发现, 同样使相速度误差控制在± 1%内, 17点差分格式每一横波波长内需要增加到10个网格以上, 25点差分格式中要求基本不变。相对而言, 17点差分格式变化不算太大。

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	图2 17点差分格式相速度频散曲线(泊松比σ =0.1)

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	图3 25点差分格式相速度频散曲线(泊松比σ =0.1)

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	图4 17点差分格式相速度频散曲线(泊松比σ =0.33)

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	图5 25点差分格式相速度频散曲线(泊松比σ =0.33)

3 数值实现

地层模型参数为:纵波速度为3 000 m/s; 横波速度2 000 m/s; 介质密度2 500 kg/m³; 差分近似计算网格采用矩形网格, x方向网格数N_x=160, z方向网格数N_z=160; 空间步长Δ x=Δ z=5 m。采样时间间隔1 ms, 记录时间0.3 s, 震源采用为主频 25 Hz 的Richer子波(垂向), 震源坐标位置为(80, 80), 检波点坐标(120, 120)(以网格数为单位), 边界采用厚度为20个网格的PML边界。

观察17点格式和25点格式在175 ms时刻波场快照, 可以发现二者几乎一致(见图6、7)。

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	图6 17点格式175 ms时刻波场快照

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	图7 25点格式175 ms时刻波场快照

为进一步进行对比分析, 将17点格式与25点格式及解析解^[20]在检波点处的U, V分量分别画出, 如图8所示。17点格式与25点格式的U, V分量均能与解析解较好的对应, 仅在个别极值点附近稍有差异, 虽然25点格式比17点格式在U分量效果略好, 但17点格式在V分量结果又好于25点格式, 总体来讲二者模拟精度大致相同。

为了直观地比较二者的阻抗矩阵, 假设计算区域网格数为10× 10, 则阻抗矩阵大小为200× 200, 图9为17点格式和25点格式的阻抗矩阵中元素分布, 圆点表示阻抗矩阵中非零元素, n_z表示阻抗矩阵中非零元素的个数, n_z_{, 17}=3 880, n_z_{, 25}=5 032。

计算区域网格数为160× 160时, 加上边界后, 实际计算区域网格大小200× 200, 阻抗矩阵大小为80 000× 80 000, n_z_{, 17}=1 976 080, n_z_{, 25}=2 606 512, 17点格式阻抗矩阵非零元素比例为 0.03%, 25点格式阻抗矩阵非零元素比例为 0.04%, 采用稀疏格式存储后, 17点格式阻抗矩阵大小为32.0 M, 25点格式阻抗矩阵大小为43.8 M, 内存占用减少26.94%; 对每个频率求解矩阵方程(6)时, 利用pardiso软件包, 多次计算后取耗时平均值, 得到17点格式平均耗时7.363 247 s, 25点格式平均耗时7.441 218 s, 耗时减少1.05%。

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	图8 检波点处分量数值解与解析解

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	图9 当计算区域网格数为10× 10时, 17点格式(a)和25点格式(b)的阻抗矩阵中元素分布示例

为了更直观地说明问题, 我们将以上数据放入表格进行对比(见表1、2)。

表1 17点格式和25点格式对比

表2 17点格式和25点格式对比(以25点格式结果为1)

4 结论

1) 频率域17点格式弹性波正演模拟是通过改变空间导数项与质量加速度项来优化阻抗矩阵, 达到使用较少点数实现高精度波场模拟的效果。

2) 通过计算可以发现, 虽然17点格式在泊松比为0.1的条件下, 要使相速度误差控制在± 1%内, 每一横波波长内需要8.7个网格以上, 较25点差分格式的3.3个网格要多一些, 但常规网格设置均能满足这一要求。

3) 从波场模拟结果来看, 二者与解析解的拟合程度各有优缺, 大致相当。

4) 从内存占用上来分析, 17点格式阻抗矩阵占用内存较25点格式减少了23.84%。

5) 从计算耗时角度分析, 17点格式较25点格式减少了1.05%。

总之, 与25点格式相比, 17点格式是一种网格设置要求略严格, 精度相当, 用时略少, 内存占用较少的正演方法。

The authors have declared that no competing interests exist.

参考文献

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0.0

吴国忱, 梁锴. VTI介质频率—空间域准P波正演模拟[J]. 石油地球物理勘探, 2005, 40(5): 535-545.

本文从VTI介质弹性波波动方程出发,借助VTI介质弹性参数和Thomsen参数,结合Kelvin-Christoffel方程,推导了VTI介质中准P波波动方程,并对VTI介质准P波进行了正演模拟。在正演模拟中,为了克服常规差分算子的数值频散,采用了25点优化差分算子;再依据最优化理论求取的优化系数建立了频率-空间域中准P波波动方程的差分格式;为了消除人为边界反射,根据特征分析方法并利用Kelvin-Christoffel方程,构建了VTI介质中准P波方程在不同边界和角点处的边界条件;再由准P波波动方程和边界条件,通过频率-空间域有限差分法,对准P波在均匀VTI介质、层状VTI介质和凹陷模型中的传播过程进行了数值正演模拟。通过正演模拟,得到了单频波波场、时间切片和共炮点记录,为研究地震成像及反演等提供了依据。

... 吴国忱教授分别将25点差分格式应用于VTI和TTI介质的正演模拟^[6,7] ...

... 此外,还有一些学者在波场分解及双相介质、TTI介质等方面进行了许多的数值模拟和研究^{[6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19]} ...

2007

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吴国忱, 罗彩明, 梁锴. TTI介质弹性波频率—空间域有限差分数值模拟[J]. 吉林大学学报: 地球科学版, 2007, 37(5): 1023-1033.

The VTI media is caused by fine periodic thin layers, and it is one of most sedimentary rocks researched by geophysicists. In dipping thin layers, the symmetry axis of VTI media should be tilted by dip angle in observing reference system, and in this case, VTI media is named transversely isotropic media with tilted symmetry axis (TTI media). In the paper, in order to overcome the numerical dispersion, we have adopted a 25-points finite difference numerical simulation scheme and derived frequency-space domain elastic wave equations of TTI media. We make use of elastic wave equation in perfect matched layer to attenuate reflection of elastic wave at artificial boundary, and get optimized coefficients on the basis of optimization theory. Finally, we successfully implement numerical simulation of seismic elastic wave field in TTI media with concentrating force source. The results of seismic wave simulation illustrate that elastic wave fields of anisotropic media are very complex, transverse waves often have phenomena of singularity, and the difficulties of surface seismic record processing increase owing to TTI media.

College of GeoResource and Information, China University of Petroleum, Dongying，Shandong 257061，China

由周期性薄互层引起的VTI介质是研究比较广泛的一类各向异性介质。当VTI介质对称轴偏离垂向，本构坐标系与观测坐标系不重合时，会形成观测坐标系下的TTI介质。引入25点优化差分算子，推导出二维TTI介质频率域弹性波动方程;为压制边界反射，采用完全匹配层法吸收边界条件，并计算出优化差分系数;最后采用集中力源，模拟了弹性波在TTI介质中的传播过程。从波场快照和地面共炮记录可以看出，笔者采用的数值模拟算法能有效压制数值频散。TTI介质中的波场传播比较复杂，纵波传播相对稳定，横波波前的三分叉现象比较明显，并存在振幅奇异性。当VTI介质的对称轴偏转后，还会增加地面地震记录的复杂性。

... 吴国忱教授分别将25点差分格式应用于VTI和TTI介质的正演模拟^[6,7] ...

... 此外,还有一些学者在波场分解及双相介质、TTI介质等方面进行了许多的数值模拟和研究^{[6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19]} ...

2013

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... 谷丙洛和梁光河等提出了一种21点差分格式对二维弹性波进行了数值模拟,该方法较25点差分格式能够保持精度相当且减少15%的计算内存和计算时间^[8] ...

... 此外,还有一些学者在波场分解及双相介质、TTI介质等方面进行了许多的数值模拟和研究^{[6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19]} ...

2000

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董良国, 马在田, 曹景忠, 等. 一阶弹性波方程交错网格高阶差分解法[J]. 地球物理学报, 2000, 43(3): 411-419.

... 此外,还有一些学者在波场分解及双相介质、TTI介质等方面进行了许多的数值模拟和研究^{[6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19]} ...

2009

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... 此外,还有一些学者在波场分解及双相介质、TTI介质等方面进行了许多的数值模拟和研究^{[6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19]} ...

2005

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裴正林, 王尚旭. 任意倾斜各向异性介质中弹性波波场交错网格高阶有限差分法模拟[J]. 地震学报, 2005, 27(4): 441-451.

... 此外,还有一些学者在波场分解及双相介质、TTI介质等方面进行了许多的数值模拟和研究^{[6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19]} ...

2005

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裴正林. 三维各向同性介质弹性波方程交错网格高阶有限差分法模拟[J]. 石油物探, 2005, 44(4): 308-315.

给出了三维各向同性介质中一阶应力速度弹性波方程交错网格任意偶数阶精度有限差分格式,推导出了三维各向同性弹性介质完全匹配层吸收边界条件公式和相应的交错网格高阶有限差分格式.对三维French模型进行了弹性波模拟,结果表明,该方法模拟精度高,边界吸收效果好.在三维French模型的xoz平面和yoz平面的弹性波场快照中可以见到断面反射波、侧面反射波和散射波等波场特征.多次侧面反射波和多次散射波说明不同三维构造所形成的波场是相互影响的.

... 此外,还有一些学者在波场分解及双相介质、TTI介质等方面进行了许多的数值模拟和研究^{[6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19]} ...

2012

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李敏, 刘洋. 高阶旋转交错网格有限差分方法模拟TTI介质中横波分裂[J]. 物探与化探, 2012, 36(6): 934-940.

A high-order rotated staggered grid scheme (RSG) has been implemented to simulate the shear-wave splitting in tilted transversely isotropic (TTI) media. The high-order RSG can simulate wave propagation in media that contain high-contrast discontinuities like cracks more precisely than the standard staggered grid scheme (SSG) by avoiding the unstableness of the staggered grid scheme (SSG). The authors conducted a study of zero-offset S-wave splitting with the high-order RSG. The S-wave splitting study was mainly focused on fractured media which, on the scale of seismic wavelength, could be regarded as transversely isotropic (TI) media. The results of numerical modeling show that the high-order RSG scheme can be used to simulate waves' propagation in general anisotropic media. The perfect matched layer (PML) absorbing boundary condition combined with the high order RSG scheme can well attenuate reflections from the artificial boundary. The S-wave splitting is mainly affected by the angle between polarization direction of incoming wave and strike of the TTI media, and the energy of fast and slow shear waves is also associated with this angle. The dipping angle of TTI media may affect time lag between the fast and slow waves, which may result in variation of arrival time of waves from the same interface. Thus, the analysis of energy distribution of the fast and slow waves and the variation of arrival time may help detect the strike and dipping angle of the fracture. Besides, when propagating in the media that contain more than one layer of TTI media, the S-wave splitting will occur more than once.

笔者给出了一种能够模拟弹性波在任意各向异性介质中传播的二维三分量高阶有限差分算法。相对于常规交错网格有限差分方法,旋转交错网格有限差分方法在介质具有强差异性时能更精确地模拟地震波的传播,避免常规交错网格中因对弹性系数进行插值而带来的误差。采用高阶旋转交错网格有限差分方法模拟并分析了零偏移距横波分裂现象随裂缝介质方位角和倾角变化的响应特征。结果表明:结合完全匹配层(PML)吸收边界条件的高阶旋转交错网格有限差分方法能获得高精度的地震波场模拟数据,并且在边界具有良好的吸收效果;横波分裂现象主要受裂缝走向与波的极化方向之间的夹角影响,受裂缝倾角影响较小,且快慢横波的能量也跟裂缝走向与波极化方向间的夹角有关。具有倾斜对称轴的横向各向同性(TTI)介质倾角的变化可能会导致记录中波到达时的变化,影响快慢横波的时差。利用横波分裂的能量分布和方位各向异性特征,可以帮助检测裂缝的方位角和倾角。横波在多层TTI介质中传播时会发生多次分裂的现象。

... 此外,还有一些学者在波场分解及双相介质、TTI介质等方面进行了许多的数值模拟和研究^{[6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19]} ...

2014

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张伟, 甘伏平, 刘伟, 等. 双相介质瑞雷面波有限差分正演模拟[J]. 物探与化探, 2014, 38(6): 1275-1283.

In order to study the mechanism and propagation of Rayleigh surface wave in biphasic media and promote the development of data-processing method of Rayleigh surface wave, the authors applied finite difference method with staggered grids to simulate the 2D isotropic elastic media based on the elastic wave equation, and made a comparison between the analytical and numerical solutions. On such a basis, the PML absorbing boundary condition and improved image method can be applied to the two-phase medium wave equation to simulate the typical media model including horizontal layer and undulating interface, analyze the full wave information including the Rayleigh surface wave and body wave, and make a stability analysis. The results show that, on the basis of the comparison between the numerical solution and the analytical solution of the elastic media within the acceptable range of the error, the study of biphasic medium is feasible. The slight improvement of the image method can be applied to biphasic media to deal with free boundary condition problem of the Rayleigh surface wave effectively. The detailed analysis of the full wave field information of biphasic media including the Rayleigh surface wave and body wave shows that it has played a guiding role in the seismic exploration on the basis of biphasic media.

为了研究双相介质瑞雷面波的形成机制及传播规律,促进瑞雷面波资料处理方法的发展。文章根据弹性波动方程,采用交错网格有限差分算法,对二维各向同性弹性介质做解析解与数值解的对比,在此基础上,将PML吸收边界条件,改进的镜像法应用于双相介质波动方程中,并作了稳定性分析,对双相介质水平层状、起伏分界面等典型模型瑞雷面波及体波在内的全波场进行研究。结果表明:基于弹性介质解析解与数值解的对比,在误差接受范围内,研究双相介质是可行的;把稍作改进的镜像法应用于双相介质中,能够有效地处理瑞雷面波自由边界问题;通过详细分析双相介质瑞雷面波及体波在内的全波场的信息,对以双相介质为基础的地震波勘探有一定的指导作用。

... 此外,还有一些学者在波场分解及双相介质、TTI介质等方面进行了许多的数值模拟和研究^{[6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19]} ...

2014

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杨庆节, 刘财, 耿美霞, 等. 交错网格任意阶导数有限差分格式及差分系数推导[J]. 吉林大学学报: 地球科学版, 2014, 44(1): 375-385.

摘　要：交错网格有限差分算法以其高效、精确、实用等优点在地震波数值模拟中得到广泛应用。目前交错网格有限差分的精度已达到时间4阶、空间2N阶；然而在求空间三次导数时，差分格式实际上并未达到所谓的2N阶精度，而是采用了低阶的差分格式及差分系数，这样有利于提高大尺度空间正演时的计算效率；但从计算精度的角度考虑，有必要推导出准确的满足2N阶精度的交错网格有限差分格式及差分系数，以得到更高精度的正演结果。笔者利用Taylor公式展开首次推导出了可导函数任意次导数的任意偶数阶精度的差分近似式及相应的差分系数，从而完善了常规高精度交错网格有限差分算法。采用新推导的交错网格有限差分格式得到的正演波形与解析解进行了对比，证明了新推导的差分格式的正确性，并与常规差分格式的正演波形进行了比较，结果显示，新推导出的交错网格有限差分格式模拟结果稳定性好，精度更高。

... 此外,还有一些学者在波场分解及双相介质、TTI介质等方面进行了许多的数值模拟和研究^{[6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19]} ...

2015

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王亚妮, 李长江, 李庆春. 旋转交错网格VTI介质波场模拟与波场分解[J]. 物探化探计算技术, 2015, 37(2): 198-202.

... 此外,还有一些学者在波场分解及双相介质、TTI介质等方面进行了许多的数值模拟和研究^{[6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19]} ...

2015

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李长江, 李庆春, 王亚妮. 旋转交错网格TTI介质波场模拟与波场分解[J]. 物探与化探, 2015, 39(3): 553-557.

In order to obtain the pure P and SV and SH waves in the TTI media. The rotated staggered grid finite-difference method was used to simulate the waves propagate in the TTI media, and the properties of the P、SV、SH polarization directions perpendicular to each other was used to decompose the coupled waves. This method is testified by thecomparison of the original wave-field and the decomposed wave-fields of a homogeneous media and a complex 6 layers media.

为了得到TTI介质中传播的纯纵波和纯横波波场,采用旋转交错网格高阶有限差分法对TTI介质中传播的地震波场进行了数值模拟,并利用qP波、qSV波、SH波的极化方向相互垂直的特性,来实现qP波、qSV波、SH波的分解。通过对均匀介质模型和复杂层状介质模型分解前后波场快照和地震记录的对比,验证了本文方法的正确性。

... 此外,还有一些学者在波场分解及双相介质、TTI介质等方面进行了许多的数值模拟和研究^{[6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19]} ...

2016

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王小丹, 印兴耀, 杨富森. 稳定的二维TTI介质一阶qP波方程RSGFD数值模拟[J]. 物探与化探, 2016, 40(1): 135-142.

... 此外,还有一些学者在波场分解及双相介质、TTI介质等方面进行了许多的数值模拟和研究^{[6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19]} ...

2016

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林朋, 卢勇旭. 传统和旋转交错网格有限差分在双相介质中的模拟对比[J]. 物探与化探, 2016, 40(1): 203-208.

Starting with the model of the Biot two-phase media theory,the authors set up the 2D/3C velocity-stress elastic wave equation of the two-phase isotropic media and the finite difference time domain scheme through deduction.The wave field simulation is based on the two-phase homogeneous and inhomogeneous isotropic media using the traditional staggered-grid method and the rotated staggered-grid method.The results show that the rotated staggered grid difference scheme performs perfectly for the two-phase isotropic media.A comparison between rotated stagger-grid and traditional stagger-grid demonstrates that the finite difference algorithm of rotating staggered-grid is more stable and can avoid errors caused by interpolation,and hence the rotated staggered-grid difference scheme is a numerical simulation of seismic wave field method with a strong effectiveness.

以Biot双相介质模型为背景,笔者推导了双相各向同性介质二维三分量一阶速度——应力弹性波方程方程,建立了各向同性双相介质波动方程的二维三分量有限差分格式。分别采用传统交错网格有限差分技术和旋转交错网格有限差分技术对均匀和非均匀双相各向同性介质进行了波场模拟。结果表明,旋转交错网格有限差分技术能够有效模拟双相各向同性介质中弹性波的传播情况;通过传统和旋转交错网格有限差分技术的对比,说明了旋转交错网格有限差分算法的稳定性更强,避免了插值带来的误差,是一种有效的地震波场模拟方法。

... 此外,还有一些学者在波场分解及双相介质、TTI介质等方面进行了许多的数值模拟和研究^{[6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19]} ...

1979

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... 为进一步进行对比分析,将17点格式与25点格式及解析解^[20]在检波点处的U,V分量分别画出,如图8所示 ...