疏松砂岩干岩石模量研究

引用本文

魏冰涛, 杨国权, 曹文俊. 疏松砂岩干岩石模量研究[J]. 物探与化探, 2016,40(5): 986-990.
WEI Bing-Tao, YANG Guo-Quan, CAO Wen-Jun. Research on the dry modulus of the unconsolidated sandstone[J]. Geophysical and Geochemical Exploration, 2016,40(5): 986-990.
Doi:10.11720/wtyht.2016.5.23 复制到剪切板

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疏松砂岩干岩石模量研究

魏冰涛, 杨国权, 曹文俊

中国石油大学(华东),山东青岛 266580

作者简介: 魏冰涛(1990-),男,硕士在读研究生,主要从事岩石物理研究工作。E-mail:13156050650@163.com

收稿日期: 2015-09-21

基金: 国家重点基础研究发展计划(“973”计划)项目(2014CB239006,2011CB202402); 国家自然科学基金项目(41104069、41274124)

摘要

目前对疏松砂岩的研究主要是基于一些模型的思想,这些模型都是以Hertz-Mindlin和Walton的接触理论作为基础,从而很好的预测疏松砂岩的干岩石模量。但是,这传统的疏松砂岩模型并不能很好地表征疏松砂岩的弹性性质,经过研究发现,HMR、HMS预测的干岩石的体积模量比实际测量值略低,如果用Hashin-Shtrikman下限方程内插,会产生更大的误差;HMR、WR预测的剪切模量都会比实际值高出很多,主要是没有考虑颗粒边界的相对运动;WS的适用性不是很好,有些地方预测效果很好,有些地区效果很差;HMS的预测效果很好,适用性很强,但是预测的结果都比实际值略低,如果用Hashin-Shtrikman上限进行内插,会取得很好的结果,并将该结果与传统的疏松砂岩模型对比分析,发现该方法具有很高的精度。

关键词: 疏松砂岩模型; Hertz-Mindlin; Walton; Hashin-Shtrikman; HMS; HMR; WR; WS

中图分类号:P631 文献标志码:A 文章编号:1000-8918(2016)05-0986-05 doi: 10.11720/wtyht.2016.5.23

Research on the dry modulus of the unconsolidated sandstone

WEI Bing-Tao, YANG Guo-Quan, CAO Wen-Jun

China University of Petroleum (East China),Qingdao 266580,China

Abstract

At present,the study of loose sand mainly focuses on some commonly used models which are based on the Hertz-Mindlin and Walton contact theories.In this paper,the authors tested the capability of various rock physics models to predict dry modulus of the sand samples by comparing the estimates with results measured in laboratory.The study shows that the traditional model of unconsolidated sand is not good at characterizing its elastic properties.Using either the HMR or HMS theories to define the high porosity endpoint gives a lower-prediction of the dry bulk modulus which will have a much bigger error when combined with HS lower bounding equation.Both HMR and WR result in an over-prediction of the dry shear modulus because they do not consider the deformation across the contact.As WS cannot give a good fit to all the areas,it is rarely used.Despite the fact that the results are somewhat lower than the real data,the dry modulus is best described by HMS.With the help of the HS higher bounding equation,the predicted dry modulus agrees fairly well with the measured data.So the new constructed method has better application effect and deserves much attention.

Keyword: unconsolidated sand model; Hertz-Mindlin; Walton; Hashin-Shtrikman; HMS; HMR; WR; WS

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干岩石模量的求取, 一直以来都是一个未完全解决的问题^[1]。干岩石模量本质上反映的是在孔隙压力不变的条件下围压变化所引起的岩石体积改变^[2]。首先可以通过实验室直接测定干岩石的纵横波和密度, 进而计算干岩石模量, 其次借助经验公式以及等效介质模型^[3]。对于地下深层胶结岩石, 可以通过实验室测量干岩石模量, 但是对于浅层的疏松砂岩, 由于没有足够多的岩芯资料, 因此对该方面的研究比较少, 所以不能很好地研究其干岩石模量。

Dvormkin和Nur引入高孔隙度砂岩理论模型, 结合Hertz-Mindlin理论和Hashin-Shtriman理论, 提出了一种计算疏松砂岩干岩石模量的有效模型, 即疏松砂岩模型。该模型对于富含石英的砂岩具有很好的应用效果, 但是黏土含量相对较大时(> 20%), 应用效果不是很好^{[4, 5, 6, 7]}, 同时, Bachrach、Dvormkin和Nur指出, Hertz-Mindlin理论没有考虑岩石颗粒间的相对运动, 比如滑动、旋转等, 所以预测的剪切模量高于实际测量的剪切模量^[8]。

当等效介质在流体静压力下, 介质是统计上的各向同性时, Walton考虑了球体是无限粗糙和无限光滑时的两种情况, 推导出了对应的弹性模量公式。但是地壳压力既不是静水压力也不是单轴压力, 所以在定性评价油气储层中的非固结砂岩的等效模量时, 该模型应谨慎使用^[10]。Zimmer发现, Hertz-Mindlin理论中岩石对压力的敏感性比实际值小, 当假设岩石颗粒间的剪切应力很大时, 用该理论估算的干岩石速度远远大于实际测量值^[11]。Andersen和Johansen通过实验发现, 当岩石颗粒间的剪切应力很大时, 前文提到的两种理论都会过高的估算岩石的速度, 纵波速度比实际值高1.5%, 横波速度比实际值高1.8%, 这种差异会随着孔隙度或者含水饱和度的增加而减小, 当假设岩石颗粒间的剪切应力很小时, 岩石颗粒会发生相对运动, 在该理论(Hertz-Mindlin-Smooth或Walton-Smooth)下预测的速度值更加准确^[12]。

上面提到的几种模型可以用来计算干岩石模量, 同时结合实际岩芯数据, 来测试模型的准确度。实际结果发现Hertz-Mindlin-Smooth的效果比较好, 但是预测值仍然比实际弹性模量小, 可以采用类似于疏松砂岩模型的方法^[9], 结合Hashin-Shtriman上边界理论估算岩样的弹性模量。经过实验发现, 该估算值与实际值具有很好的一致性, 具有很好的研究意义。

1 方法原理

1.1 Walton模型

Walton假设球体和等效介质都是弹性均匀的, 球体任意充填且统计上是各向同性的, 当压力为0时, 邻近球体之间的接触是点接触, 从而推导出任意充填的弹性球体的等效弹性模量的一组方程^[10]。

当球体是无限粗糙时(Walton-Rough):

$\begin{matrix} \begin{matrix} K_{WR} = \frac{1}{6} \sqrt[]{\frac{3 {(1 - φ)}^{2} C^{2} P_{e}}{π^{4} B^{2}}}, \\ μ_{WR} = \frac{3}{5} K_{WR} \frac{5 B + A}{2 B + A}, \\ A = \frac{1}{4 π} (\frac{1}{μ_{s}} - \frac{1}{μ_{s} - λ_{s}}), B = \frac{1}{4 π} (\frac{1}{μ_{s}} + \frac{1}{μ_{s} - λ_{s}}), \\ λ_{s} = K_{s} - \frac{2}{3} μ_{s}, \end{matrix} \end{matrix}$

其中:K_WR和μ _WR分别是球体无限粗糙时的等效介质的体积模量和剪切模量, P_e是等效压力, φ 是孔隙度, λ _s和μ _s是基质的拉梅常数和剪切模量, C是配位数, 代表岩石颗粒间的接触关系。

当球体是无限光滑时(Walton-Smooth):

$\begin{matrix} K_{WS} = K_{WR}, μ_{WS} = \frac{3}{5} K_{WR}, \end{matrix}$

其中:K_WS和μ _WS分别是球体无限光滑时的等效介质的体积模量和剪切模量。

1.2 Hertz-Mindlin模型

基于Hertz-Mindlin模型的等效模量理论常被用于定量描述疏松砂岩在一定储层条件下的弹性模量的特征, H-M模型假设组成粒状介质的颗粒接触边界是紧密连接的, 在应力的作用下不产生相对滑动, 该理论模型通常计算出的体积模量与实际测量较为吻合, 但剪切模量往往高于实际测量值。造成上述差异的主要原因是H-M模型是基于均匀应变近似的, 即在一个无限小的应力扰动下, 颗粒边界的力学特征与颗粒集合体的宏观力学特征一致, 符合规则排列颗粒的应力应变特征, 但是对于不规则排列的颗粒集合体会在局部产生不均匀应变, 从而在颗粒边界造成扭转和旋转运动^[13]。类似于Walton模型一样, 该理论也被发展成两种颗粒接触理论: HMR(H-M-Rough)和HMS(H-M-Smooth)。

HMR理论:

$\begin{matrix} \begin{matrix} K_{HMR} = {[\frac{n^{2} {(1 - φ)}^{2} μ_{S}^{2}}{18 π^{2} {(1 - σ)}^{2}} P_{e}]}^{\frac{1}{3}}, \\ μ_{HMR} = \frac{5 - 4 σ}{5 (2 - σ)} {[\frac{3 n^{2} {(1 - φ)}^{2} μ_{S}^{2}}{2 π^{2} {(1 - σ)}^{2}} P_{e}]}^{\frac{1}{3}}, \end{matrix} \end{matrix}$

其中:K_HMR和μ _HMR分别是等效介质的体积模量和剪切模量; P_e是有效压力(即围压和空隙压力之差); μ 和σ 是固体相的剪切模量和泊松比; n是配位数, 代表岩石颗粒间的接触关系。

HMS理论:

$\begin{matrix} K_{HMS} = K_{HMR}, μ_{HMS} = \frac{3}{5} K_{HMR}, \end{matrix}$

其中:K_HMS和μ _HMS分别是等效介质的体积模量和剪切模量。

K_HM和μ _HM分别是临界孔隙度φ _c(即沉积孔隙度)时干岩石的体积模量和剪切模量; P_e是有效压力(即围压和空隙压力之差); μ 和σ 是固体相的剪切模量和泊松比; n是配位数, 代表岩石颗粒间的接触关系。

1.3 疏松砂岩模型

Dvorkin和Nur引入了两个高孔隙度砂岩理论模型, 疏松砂岩模型或“ 未固结线” , 来描述当分选变差时, 速度— 孔隙度关系如何变化。“ 分选很好” 的端元用分选很好的相似颗粒填充表示, 这些颗粒的弹性性质由颗粒接触点的弹性确定。“ 分选很好” 的端元具有大约40%左右典型的临界孔隙度。疏松砂岩模型把分选不好的砂岩表示为修改的“ 分选很好” 的端元, 修改时通过附加沉积在空隙空间的小颗粒完成的, 这些附加的颗粒使分选变差, 降低了孔隙度, 并且轻微的增加了岩石硬度^[14]。

在临界孔隙度, 干的分选很好的端元的弹性模量被模拟成一个易于受围压影响的弹性球充填。这些模量由HMR理论给出, 疏松砂岩模型的另一个端元在零孔隙度, 具有矿物体模量K_s和剪切模量μ _s, 孔隙度在0和临界孔隙度之间分选不好的砂岩模量用Hashin-Shtrikmanxia下边界在矿物点和分选很好的端元之间内插。这里把分选不好的砂岩想象为一些由细小颗粒砂子软“ 壳” 包裹的大颗粒, 这是Hashin-Shtrikman界限的体现。

$\begin{matrix} \begin{matrix} K_{dry} = {[\frac{φ / φ_{c}}{K_{HMR} + 4 μ_{HMR} / 3} + \frac{1 - φ / φ_{c}}{K_{S} + 4 μ_{HMR} / 3}]}^{- 1} - 4 μ_{HMR} / 3, \\ μ_{dry} = {[\frac{φ / φ_{c}}{μ_{HMR} + Z} + \frac{1 - φ / φ_{c}}{μ_{S} + Z}]}^{- 1} - Z, \\ Z = \frac{μ_{HMR}}{6} (\frac{9 K_{HMR} + 8 μ_{HMR}}{K_{HMR} + 2 μ_{HMR}}), \end{matrix} \end{matrix}$

其中:φ _c是临界孔隙度, 其他参数意义同上。

疏松砂岩模型代表了在砂岩单元内速度— 孔隙度— 分选变化。对于富食石英的砂岩, 分选变化是由小的石英颗粒填充进大石英颗粒之间的孔隙空间中。然而, 分选变差通常与黏土含量增加有关, 如果黏土含量相对比较大(> 20%), 该模型效果不是很好。

1.4 改进的疏松砂岩模型

上述提到的疏松砂岩模型, 是HMR模型与HS模型的结合, 但是基于HMR模型基本假设的缺陷, 剪切模量往往高于实际测量值。经过实验发现, HMS模型预测的弹性模量与实际值较为接近, 比实际值略低, 类似于构建疏松砂岩模型的方法, 在孔隙度在0和临界孔隙度之间分选不好的砂岩模量用Hashin-Shtrikmanxia上边界内插^[18]:

$\begin{matrix} \begin{matrix} K_{dry} = {[\frac{φ / φ_{c}}{K_{HMS} + 4 μ_{S} / 3} + \frac{1 - φ / φ_{c}}{K_{S} + 4 μ_{S} / 3}]}^{- 1} - 4 μ_{S} / 3, \\ μ_{dry} = {[\frac{φ / φ_{c}}{μ_{HMS} + Z} + \frac{1 - φ / φ_{c}}{μ_{S} + Z}]}^{- 1} - Z, \\ Z = \frac{μ_{S}}{6} (\frac{9 K_{S} + 8 μ_{S}}{K_{S} + 2 μ_{S}}) 。 \end{matrix} \end{matrix}$

2 实际数据测试

应用Galveston Beach, Gulf of Mexico, Pomponio Beach, Merritt 4个地区的岩样数据, 对上述方法进行测试。图1是用4种不同的方法预测的4个地区的疏松砂岩的体积模量, 4种方法分别是HMR(HM-Rough), WR(W-Rough), HMS(HM-Smooth), WS(W-Smooth), 图1a、b、c、d中的蓝点是预测的岩样的体积模量, 即图中纵坐标、横坐标是实测的岩样的体积模量, 理论上预测值和实测值应该相等, 对应图中红线(y=x), 但是, 从预测的结果可以看出, WR和WS的适用性较差, 在Gulf of Mexico和Pomponio Beach地区的效果较好, 但是在Galveston Beach 和Merritt地区的应用效果较差; HMR和HMS的结果较好, 与实际值相差相差较小, 但是都小于实际值。

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	图1 预测的干岩石体积模量对比 a— Galveston Beach sands; b— Gulf of Mexico sands; c— Pomponio Beach sands; d— Merritt sands

图2是用4种不同的方法预测的4个地区的疏松砂岩的剪切模量, 4种方法分别是HMR(HM-Rough), WR(W-Rough), HMS(HM-Smooth), WS(W-Smooth), 从预测的结果可以看出, HMR和WR的应用效果很差, 预测值与实际值相差很大; WS在Galveston Beach地区预测的疏松砂岩的的剪切模量比实际值大很多, 但是在其他地区效果较好; 相比之下, HMS在4个地区取得了很好的效果。

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	图2 预测的干岩石剪切模量对比 a— Galveston Beach sands; b— Gulf of Mexico sands; c— Pomponio Beach sands; d— Merritt sands

图3是用两种不同的方法预测的4个地区的疏松砂岩的弹性模量, 两种方法分别是HMS-HS+(HMS-HS上限), HMR-HS-(HMR-HS下限), 从预测的结果可以看出, HMR-HS-应用效果很差, 预测值都很小, 预测值与实际值相差很大; HMS-HS+的预测结果很好, 具有很好的研究意义。

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	图3 预测的干岩石弹性模量对比 a— Galveston Beach sands; b— Gulf of Mexico sands; c— Pomponio Beach sands; d— Merritt sands

3 结论和认识

笔者主要是针对一些常用疏松砂岩模型展开研究, 并通过实际岩芯数据测试模型的准确性和适用性。研究发现, HMR和WR模型预测的剪切模量比实际值大很多, 主要是没有考虑岩石颗粒间的相对运动, WS模型较好, 但是适用性较差, HMS的模型的应用效果较好, 具有很好的研究意义。

同时发现HMR模型预测的疏松砂岩的体积模量比实际值小, 如果采用传统的疏松砂岩模型, 即用HS下限进行内插, 会使预测结果产生更大的误差。HMS预测的弹性模量比实际值都小, 但是和实际值具有很好的一致性, 采用HS上限进行内插后发现, 预测的弹性模量与实际值的的误差很小, 证明了该方法的有效性。

The authors have declared that no competing interests exist.

参考文献

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2010

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张佳佳, 李宏兵, 刘怀山, 等. 几种岩石骨架模型的适用性研究[J]. 地球物理学进展, 2010, 25(5): 1697-1702.

In the study of seismic rock physics, Biot-Gassmann theory is one of the most classic and practical instruments which is used to calculate the effect of fluid saturation on seismic properties and to predict the relation between the elastic velocities and the physical properties of porous rocks. But Biot-Gassmann theory does not illuminate the relation between the moduli of the dry frame and that of the matrix. There are several models which illustrate the relation from different aspects, such as the Krief model, Nur model (critical porosity model), Pride model, etc. They are the most popular models. We have applied the Krief model, Nur model and Pride model to Biot-Gassmann theory, through forward modelling, predicting velocity and calculating Biot coefficient, compared with core samples measured in laboratory, to check their accuracy and applicability. We found that the Pride model could work well consistently; while the Krief model and Nur model could only exhibit their applicability under normal conditions and fail in other conditions; and more importantly, the last two models could not work well when the porosity of rocks is low or the effective pressure is low.

在地震岩石物理中,Biot-Gassmann理论通常用来研究饱和流体对岩石地震特征的影响以及描述地震响应与岩石物性之间的关系.然而Biot-Gassmann理论并没有阐述多孔岩石的骨架与基质之间的关系,因此出现了各种各样的岩石骨架模型分别从不同的角度建立了岩石骨架与岩石基质之间的关系,如Krief模型、Nur模型(临界孔隙度模型)和Pride模型等都是广泛使用的岩石骨架模型.本文将这些常见的岩石骨架模型应用于Biot-Gassmann理论中,进行理论模型正演、速度预测以及Biot系数计算等,并与实验室测量数据对比,分析发现Pride模型比Krief模型和Nur模型的适用范围更广,以及Krief模型和Nur模型不能适用于低压、低孔岩石的特点.

... 干岩石模量的求取,一直以来都是一个未完全解决的问题^[1] ...

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李宏兵, 张佳佳, 姚逢昌. 岩石的等效孔隙纵横比反演及其应用[J]. 地球物理学报, 2013, 56(2): 608-615.

By integrating Gassmann equations with the dry rock frame model, which is called as DEM analytical model, derived from the differential effective medium theory, this paper presents a method for pore structure evaluation and shear wave velocity prediction from the effective pore aspect ratios inverted from the P-wave (and S-wave) velocity. First, we build a relationship among P-wave and S-wave velocity, density, porosity, saturation and mineral compositions through Gassmann equation S and the DEM analytical model. Then, by assuming that the porous rock contains spheroidal pores with a single aspect ratio, we apply a nonlinear global optimization algorithm to find the best estimate for the effective pore aspect ratio in terms of minimizing the error between theoretical predictions and experimental measurements. Finally, we estimate the S-wave velocity from the inverted effective pore aspect ratios. The experimental and well logging examples show that the inverted aspect ratio can be used to accurately indicate the pore structure of the reservoir. For fracture reservoirs, such as granite, its pore aspect ratio is typically less than 0.025, and for pore reservoirs such as sandstone, the pore aspect ratio is usually greater than 0.08. Comparison of the inversion of pore aspect ratio between only from P-wave and from both P-wave and S-wave demonstrates that the pore aspect ratios from these two methods are almost the same. And, the predicted shear-velocity only from P-wave is in good agreement with the measured one. These results show that our method of shear-velocity prediction by using pore aspect ratios inverted from P-wave is effective.

通过融合Gassmann方程和由微分等效介质理论建立的干岩石骨架模型——DEM解析模型,本文提出根据纵波(和横波)速度反演岩石等效孔隙纵横比进行储层孔隙结构评价和横波速度预测的方法.首先,利用Gassmann方程和DEM解析模型建立岩石的纵、横波速度与密度、孔隙度、饱和度和矿物组分等各参数之间的关系;其次,将岩石孔隙等效为具有单一纵横比的理想椭球孔,应用非线性全局寻优算法来寻找最佳的等效孔隙纵横比使得理论预测与实际测量的弹性模量之间的误差最小;最后,将反演得到的等效孔隙纵横比代入到Gassmann方程和DEM解析模型中构建横波速度.实验室和井孔测量数据应用表明,反演得到的等效孔隙纵横比可准确反映储层的孔隙结构,对于裂缝型储层如花岗岩,其孔隙纵横比通常小于0.025,而对于孔隙型储层如砂岩,其孔隙纵横比通常大于0.08.只利用纵波与同时利用纵、横波反演得到的孔隙纵横比结果几乎完全一致,而且由纵波构建的横波与实测横波吻合良好,说明本文提出的等效孔隙纵横比反演及其横波速度预测方法是有效的.

... 干岩石模量本质上反映的是在孔隙压力不变的条件下围压变化所引起的岩石体积改变^[2] ...

2001

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伍向阳, 陈祖安. 干岩石体积模量估计[C]//中国科学院地质与地球物理研究所2001学术论文汇编, 2001.

基于岩石物理理论和经验方程,讨论了几种干岩石体积模量的计算方法,包括:①利用饱和(或部分饱和)岩石数据计算;②缺少横波数据时利用岩石纵波速度估算;③利用孔隙度与体积模量关系估算;④利用统计关系处理.这些方法是针对实际地震数据解释或岩石物理模型研究时估计岩石体积模量的需要而提出的.

... 首先可以通过实验室直接测定干岩石的纵横波和密度,进而计算干岩石模量,其次借助经验公式以及等效介质模型^[3] ...

2009

0.0

刘浩杰. 地震岩石物理研究综述[J]. 油气地球物理, 2009, 7(3): 1-8.

摘　要：基于地震岩石物理研究在油田勘探开发中的重要意义，本文对岩石物理的研究现状做了系统的总结，包括速度影响因素分析，岩石物理基本理论模型的特征、适用条件和注意事项分析，阐述了其现阶段的主要应用，最后对岩石物理未来的研究重点进行了探讨。本文为相关人员在岩石物理领域的研究提供了索引和参考。

... 20%),应用效果不是很好^[4,5,6,7],同时,Bachrach、Dvormkin和Nur指出,Hertz-Mindlin理论没有考虑岩石颗粒间的相对运动,比如滑动、旋转等,所以预测的剪切模量高于实际测量的剪切模量^[8] ...

2007

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... 实际结果发现Hertz-Mindlin-Smooth的效果比较好,但是预测值仍然比实际弹性模量小,可以采用类似于疏松砂岩模型的方法^[9],结合Hashin-Shtriman上边界理论估算岩样的弹性模量 ...

1963

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... 但是地壳压力既不是静水压力也不是单轴压力,所以在定性评价油气储层中的非固结砂岩的等效模量时,该模型应谨慎使用^[10] ...

... 1 Walton模型Walton假设球体和等效介质都是弹性均匀的,球体任意充填且统计上是各向同性的,当压力为0时,邻近球体之间的接触是点接触,从而推导出任意充填的弹性球体的等效弹性模量的一组方程^[10] ...

1998

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... Zimmer发现,Hertz-Mindlin理论中岩石对压力的敏感性比实际值小,当假设岩石颗粒间的剪切应力很大时,用该理论估算的干岩石速度远远大于实际测量值^[11] ...

1949

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... 8%,这种差异会随着孔隙度或者含水饱和度的增加而减小,当假设岩石颗粒间的剪切应力很小时,岩石颗粒会发生相对运动,在该理论(Hertz-Mindlin-Smooth或Walton-Smooth)下预测的速度值更加准确^[12] ...

1987

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... 造成上述差异的主要原因是H-M模型是基于均匀应变近似的,即在一个无限小的应力扰动下,颗粒边界的力学特征与颗粒集合体的宏观力学特征一致,符合规则排列颗粒的应力应变特征,但是对于不规则排列的颗粒集合体会在局部产生不均匀应变,从而在颗粒边界造成扭转和旋转运动^[13] ...

2007

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... 的端元,修改时通过附加沉积在空隙空间的小颗粒完成的,这些附加的颗粒使分选变差,降低了孔隙度,并且轻微的增加了岩石硬度^[14] ...

2007

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... 经过实验发现,HMS模型预测的弹性模量与实际值较为接近,比实际值略低,类似于构建疏松砂岩模型的方法,在孔隙度在0和临界孔隙度之间分选不好的砂岩模量用Hashin-Shtrikmanxia上边界内插^[18]: ...