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物探与化探, 2019, 43(2): 320-328 doi: 10.11720/wtyht.2019.1397

方法研究·信息处理·仪器研制

空间域和频率域平面位场延拓影响因素和稳定性分析

刘芬1,2,3, 王万银1,2,3, 纪晓琳1,2,3

1. 长安大学 地质工程与测绘学院,陕西 西安 710054

2. 长安大学 重磁方法技术研究所,陕西 西安 710054

3. 西部矿产资源与地质工程教育部重点实验室,陕西 西安 710054

Influence factors and stability analysis of plane potential field continuation in space and frequency domains

LIU Fen1,2,3, WANG Wan-Yin1,2,3, JI Xiao-Lin1,2,3

1. College of Geology Engineering and Geomatics,Chang’an University, Xi’an 710054, China;

2. Insititute of Gravity and Magnetic Technology,Chang’an University, Xi’an 710054, China;

3. Key Laboratory of Western China’s Mineral Resources and Geological Engineering, Ministry of Education, Chang’an University, Xi’an 710054, China;

责任编辑: 王萌

收稿日期: 2018-11-2   修回日期: 2018-12-26   网络出版日期: 2019-04-20

基金资助: 国家重点研发计划项目“典型覆盖区航空地球物理技术示范与处理解释软件平台开发”项目2017YFC0602200之课题“航空地球物理数据综合处理解释方法研究及软件开发”.  2017YFC0602202
中国大洋“十三五”资源环境类课题“合同区海山地形单元识别与底质类型研究”.  DY135-C1-1-03
中央高校基本科研业务费专项资金.  310826171007

Received: 2018-11-2   Revised: 2018-12-26   Online: 2019-04-20

作者简介 About authors

刘芬(1993-),女,陕西商洛人,长安大学硕士研究生,研究方向为重、磁方法理论及应用。Email:l3289371553@163.com 。

摘要

位场延拓是重、磁位场数据处理的重要方法之一,高精度的位场延拓结果对后续的数据处理和解释尤为重要。笔者从平面位场延拓的基本公式出发,分析了空间域和频率域位场延拓结果精度的影响因素以及稳定性。通过理论模型测试比较了这些影响因素(场源体顶面埋深、剖面长度、扩边方法、窗口大小、点距和延拓高度)在空间域和频率域进行位场延拓时的异同性。经过测试表明,点距和延拓高度对延拓结果的影响最大,其次是剖面长度、扩边方法以及窗口大小,场源体的顶面埋深影响最小。随着顶面埋深的增大,会使延拓结果的精度降低;增大剖面长度和进行扩边会提高位场延拓结果的精度;选择合适滑动窗口可以提高计算效率,窗口越大延拓结果精度越高,窗口半径一般选择20倍延拓高度。空间域和频率域中位场延拓结果精度相当,但在空间域中,当延拓高度小于1倍点距时,延拓结果误差很大,此时需要用插值方法加密点距。

关键词： 位场延拓 ; 影响因素 ; 精度分析 ; 稳定性

Abstract

Potential field continuation is one of the important methods of gravity and magnetic potential field data processing, and obtaining high-precision continuation results is particularly important for subsequent data processing and interpretation. Starting with the basic formula of plane potential field continuation, the authors analyzed the factors and the stability that affect the accuracy of continuation results in space and frequency domains. Using the theory model, the authors investigated the buried depth of the top surface of the field source, the length of the section, the method of edge enlargement, the size of the window, the dot pitch and the continuation height, and compared the different influences of these factors in space domain and frequency domain. The theory model test shows that the dot pitch and continuation height have the greatest influence on the continuation results, followed by the section length, the method of edge enlargement and the size of window, with the top surface of the field source exhibiting minimal influence. With the increase of the top surface’s depth, the continuation results accuracy is reduced. Increasing and expanding the length of the section will improve the accuracy of the field continuation results. Selecting the appropriate sliding window can improve the calculation efficiency, with the increasing window radius, the accuracy of the field continuation results is improved, and it can generally be chosen as 20 times of the continuation distance. The accuracy of the field continuation results have similarity in space domain and frequency domain; nevertheless, in space domain, the continuation error is very large when the continuation distance is less than 1 time of the dot pitch, so it needs to encrypt the dot pitch by using the interpolation method in this situation.

Keywords： continuation of potential field ; influence factors ; precision analysis ; stability

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本文引用格式

刘芬, 王万银, 纪晓琳. 空间域和频率域平面位场延拓影响因素和稳定性分析. 物探与化探[J], 2019, 43(2): 320-328 doi:10.11720/wtyht.2019.1397

LIU Fen, WANG Wan-Yin, JI Xiao-Lin. Influence factors and stability analysis of plane potential field continuation in space and frequency domains. Geophysical and Geochemical Exploration[J], 2019, 43(2): 320-328 doi:10.11720/wtyht.2019.1397

0 引言

位场延拓是重、磁位场数据处理的重要方法之一。平面位场延拓有向上延拓和向下延拓两种形式,可以在空间域进行,也可以在频率域进行。位场向上延拓是稳定算法,而向下延拓是不稳定性算法,因此位场延拓方法和影响因素的研究大多集中在向下延拓[1,2,3,4,5,6,7,8],而向上延拓的影响因素研究较少,向下延拓的研究主要是解决稳定性和收敛性[9,10,11,12,13,14]。毛小平[15]等认为位场向下延拓振荡是由于有限长剖面的Fourier变换引起的截断误差,并提出通过扩边再采用串联匹配滤波器的方法可以提高计算的稳定性。张辉[16]等研究了积分迭代法的收敛性,分析了噪声对延拓结果的影响,利用正则化方法和递增温纳滤波方法得到稳定和抗干扰强的向下延拓算法。于波[17]也研究了噪声对迭代法延拓结果的影响,认为迭代法可以减小FFT本身的计算误差,对于包含噪声的数据,可以先进行适当的平滑处理后再应用迭代法提高延拓精度。对于向上延拓,陆正立[18]认为由于离散Fourier变换引起的混叠效应、渗漏以及周期性是频率域延拓误差的主要来源,并给出剖面长度是延拓高度20倍时,混叠误差可以忽略;向上延拓高度为2个点距以上时,渗漏误差可以忽略,以及增加剖面范围可以克服边缘效应。熊光楚[19,20]认为最佳延拓高度受工区面积的影响。此外,王建明[21]讨论了场源体埋深对异常特点的影响,埋深增大异常值减小且异常分布范围扩大,但没有分析埋深对延拓结果的影响。作者在位场延拓的实践中发现,向上延拓虽然是稳定的,但其精度也受多方面因素影响。笔者从位场延拓的基本公式出发,分析了位场延拓的影响因素,并对各影响因素进行了理论模型测试及部分影响因素实际资料处理试验,比较了空间域和频率域位场延拓影响因素的差异性。

1 平面位场延拓的影响因素分析

平面位场延拓可以在空间域和频率域中进行,分为向上延拓和向下延拓两种形式。求解Laplace方程第一边值问题(Dirichlet外部问题)即可得到上半空间的位场表达式[22]。

设在直角坐标系中,z坐标铅垂向下为正,由已知观测平面z=ζ的位场值W(ξ,η,ζ)可以换算得到高于该平面的上半空间任一点(x,y,z)的位场值W(x,y,z),其表达式为式(1),即是空间域平面位场向上延拓的一般公式。将式(1)的乘积形式写成褶积形式,再通过Fourier变换,即可得到频率域平面

W(x,y,z)=ζ-z2π∫-∞∞∫-∞∞W(ξ,η,ζ)dξdη[(ξ-x)2+(η-y)2+(ζ-z)2]3/2。

位场向上延拓的公式为[11]

F[W(x,y,z)]=F[W(ξ,η,ζ)]·e-2πu2+v2(ζ-z),

其中:F[W(x,y,z)]为欲延拓平面位场W(x,y,z)的频谱;F[W(ξ,η,ζ)]为原已知平面位场W(ξ,η,ζ)的频谱;u和v分别为x和y方向的圆频率。

对空间域位场向上延拓式(1),采用矩形求积公式(也可以采用数值积分精度更高的积分方法),则式(1)可表示为:

W(x,y,z)=ζ-z2π∫-∞∞∫-∞∞W(ξ,η,ζ)dξdη[(ξ-x)2+(η-y)2+(ζ-z)2]3/2=ζ-z2π∫ξ1ξ2∫η1η2W(ξ,η,ζ)dξdη[(ξ-x)2+(η-y)2+(ζ-z)2]3/2=ζ-z2π∑i=n1n2∑j=m1m2W(ξi,ηj,ζ)[(ξi-x)2+(ηj-y)2+(ζ-z)2]3/2ΔξiΔηj。

式(3)是对式(1)采用有限长和离散化后得到的数值积分公式。其中,ξ1和ξ2分别为x方向的起点和终点坐标,η1和η2分别为y方向的起点和终点坐标;n1和n2分别为x方向的起点和终点序号;m1和m2分别为y方向的起点和终点序号。

由式(3)可以得出,W(x,y,z)的计算结果受W(ξ,η,ζ)的取值(场源体的埋深)、积分区间的大小(剖面长度)、延拓高度和点距的影响。因此,位场向上延拓的影响因素为:场源体埋深和规模,剖面长度、扩边方法和窗口大小,点距大小以及延拓高度大小的影响。空间域位场向下延拓是借助空间域位场向上延拓公式,采用迭代法[2]进行计算,所以其影响因素相同。

频率域位场延拓除不受窗口大小的影响外,其他影响因素与空间域位场延拓的影响因素相同。

2 平面位场延拓的模型测试及影响因素对比分析

为了测试位场延拓的影响因素,设计了由5个直立六面体组成的模型(表1)。图1给出了z=0 km平面的理论重力异常。

表1   直立六面体模型参数

Table 1  Parameters of the vertical hexahedron model

模型体直立六面体角点坐标/km密度ρ/
(kg/m3)
x1x2y1y2z1z2
A16812130.40.8250
A21314790.50.9300
A35756.51.52500
B15911191.53250
B210205121.53-100

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图1

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图1   z=0 km平面理论重力异常

Fig.1   The theory gravity anomaly on the plane surface z=0 km


2.1 场源体埋深对延拓结果的影响

本次测试分为两步:第一步是改变模型的顶面埋深,以现在的模型位置为基础,顶面埋深增大0.1~1.0 km。第二步测试每一个场源体埋深对向上延拓和向下延拓精度的影响。以z=0 km平面的重力异常,分别在空间域和频率域向上延拓2.0 km得到z=-2.0 km的延拓结果,比较z=-2.0 km平面的理论重力异常值与延拓值,并计算相应的相对均方误差(均方误差除以数据的幅值)(图2a);以z=-2.0 km平面的重力异常,分别在空间域和频率域向下延拓2.0 km得到z=0 km的延拓结果,比较z=0 km平面的理论重力异常值与延拓值,并计算相应的相对均方误差(图2b)。

图2

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图2   空间域和频率域不同场源体埋深对延拓结果影响的相对均方误差分布

a—向上延拓2.0 km;b—向下延拓2.0 km;c—埋深与点距

Fig.2   The relative mean square error distribution map of the effect on different depth of the field source to the continuation results in the space domain and frequency domain

a—upward continuation distance is 2.0 km;b—downward continuation distance is 2.0 km;c—depth of the field source and space


通过模型测试表明:增大场源体顶面埋深对向上延拓和向下延拓结果的影响规律一样,随着顶面埋深的增大,延拓结果的精度降低。但是在数值上向下延拓比向上延拓的相对均方误差大很多,这是由于向下延拓的不稳定性造成的。由图 2c 可以得出,当场源埋深较浅时,点距一定要小;当场源埋深较大时,点距可适当加大

2.2 空间域剖面长度对延拓结果的影响

数值计算时将原无限积分区间(-∞,+∞)有限化,这种近似计算会对延拓结果产生影响。这里通过理论模型测试,说明剖面长度对延拓结果的影响。原测网范围:0~26.0 km,现在不断增大测网的剖面长度分别为:-2.0~28.0 km、-4.0~30.0 km、-6.0~32.0 km、-8.0~34.0 km、-10.0~36.0 km、-12.0~38.0 km、-14.0~40.0 km。测试剖面长度对向上延拓结果的影响,以z=0 km平面的理论重力异常,对每一个剖面长度分别向上延拓到z=-2.0 km平面的高度,计算其相对均方误差。测试剖面长度对向下延拓结果的影响,以z=-2.0 km平面的理论重力异常,对每一个剖面长度向下延拓到z=0 km平面的高度,计算其相对均方误差(图3)。

图3

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图3   空间域不同剖面长度对延拓结果影响的相对均方误差

Fig.3   The relative mean square error distribution map of the effect on different section length to the continuation results


通过测试表明:不论是向上延拓或是向下延拓,随着剖面长度的增大,其延拓结果精度在提高。因为随着剖面长度的增加,可以利用的有用信息增多,使得延拓结果精度提高;剖面长度在向下延拓的相对均方误差比向上延拓的大,这体现了向下延拓的不稳定性。

2.3 空间域扩边方法对延拓结果的影响

通过测试剖面长度对延拓结果的影响,证实对于某一个固定的延拓高度,随着剖面长度增大,延拓结果的精度在提高。因此在实际计算时可以采用扩边方法,适当延长剖面的长度。目前常用的扩边方法有余弦扩边和最小曲率扩边 [23-26]。本次测试分别采用不扩边、余弦扩边和最小曲率扩边,分析扩边方法对延拓结果的影响。

测试向上延拓时,对z=0 km平面的重力异常分别不扩边、进行余弦扩边和最小曲率扩边,之后向上延拓2.0 km得到z=-2.0 km平面的重力异常,并与z=-2.0 km的理论重力异常比较得到相对均方误差。不扩边27×27个点的相对均方误差是2.773 1‰,余弦扩边64×64个点的相对均方误差是2.482 3‰,最小曲率扩边64×64个点的相对均方误差是1.234 0‰。

测试扩边方法对向下延拓结果的影响时,对z=-2.0 km平面的重力异常分别进行不扩边、进行余弦扩边和最小曲率扩边,之后向下延拓2.0 km得到z=0 km平面的重力异常,并与z=0 km的理论重力异常比较得到相对均方误差。不扩边27×27个点相对均方误差是7.368 6‰,余弦扩边64×64个点的相对均方误差是4.193 6‰,最小曲率扩边64×64个点的相对均方误差是1.776 1‰。

由此得出结论:不扩边比扩边的延拓误差大;扩边方法对延拓结果也有不同的影响,余弦扩边方法比最小曲率扩边方法的延拓误差大。因此,建议位场延拓时要进行扩边处理。

2.4 空间域窗口大小对延拓结果的影响

在空间域进行位场延拓计算时,若全部数据参与延拓计算时就可能使得计算效率降低,特别是数据量较大时更是如此。另外,距离延拓点越远,其影响越小。因此,在保证计算精度的情况下,可以通过滑动窗口的方法提高计算效率。那么窗口大小的选择就显得尤为重要。

在测试窗口大小对向上延拓结果的影响时,首先正演出网格间距为0.1 km,z=0、-0.1、-0.2、-0.3、-0.4、-0.5 km平面的理论重力异常,并对z=0 km平面的理论重力异常采用最小曲率扩边。向上延拓计算出不同窗口半径(0.2~10 km)时z=-0.1、-0.2、-0.3、-0.4、-0.5 km的延拓值,计算理论值和延拓值的相对均方误差(图4a)。

在测试窗口大小对向下延拓结果的影响时,对z=-0.5 km平面、网格间隔为0.1 km的理论重力异常采用最小曲率扩边后,以不同窗口半径(0.2~10 km)向下延拓出z=-0.4、-0.3、-0.2、-0.1、0 km平面的延拓值,并计算理论值与延拓值的相对均方误差(图4b)。

通过测试表明:随着窗口半径的增大,延拓结果的相对均方误差在减小,因为随着窗口半径的增大,参与计算的数据量在增多,提高了延拓精度;且通过使用滑动窗口的方法也提高了计算效率(图4c);想要达到一定的延拓精度,例如相对均方误差达到 0.01,对于不同的延拓高度,需要的窗口半径大小是不同的:延拓高度0.1、0.2、0.3、0.4、0.5 km,对应的窗口半径大小:3.2、6.2、7.4、8.2、8.8 km,因此窗口半径一般选择20倍的延拓高度以上,且小于剖面长度的一半。

图4

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图4   空间域不同窗口半径对延拓结果的影响统计

a—不同窗口半径向上延拓;b—不同窗口半径向下延拓;c—不同窗口半径的计算时间

Fig.4   The influences of the different radius of window to the continuation results in space domain

a—upward continuation with different windows;b—downward continuation with different windows;c—the calculating time with different windows


2.5 数据网格间距对延拓结果的影响

测试点距对向上延拓结果的影响时,对z=0 km平面、网格间距为1.0、0.5和0.2 km的理论重力异常,分别向上延拓1~10倍点距的高度,计算每个延拓高度上的理论值和延拓值的相对均方误差(图5a、5b)。

测试点距对向下延拓结果的影响时,对z=-5.0 km平面、网格间距为1.0、0.5和0.2 km的理论重力异常,分别向下延拓1~5倍点距的高度,计算每个延拓高度上的理论值和延拓值的相对均方误差(图5c、5d)。

图5

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图5   不同点距对延拓结果的影响相对均方误差分布

a—空间域不同点距向上延拓;b—频率域不同点距向上延拓;c—空间域不同点距向下延拓;d—频率域不同点距向下延拓

Fig.5   Relative mean square error distribution maps of the influence with different dot pitch on the continuation results

a—upward continuation with different dot pitch in space domain;b—upward continuation with different dot pitch in frequcncy domain;c—downward continuation with different dot pitch in space domain;d—downward continuation with different dot pitch in frequcncy domain


通过测试表明:空间域进行位场向上延拓时,当延拓高度较小时,延拓结果误差较大;随着延拓高度的增加,延拓结果的误差达到极小值(大约在1个点距左右);再之后随着高度的增加,延拓结果的误差逐渐增大,相对均方误差随延拓高度的增加整体呈现“L”形展布。对此现象做一个简单的理论分析如下:

式(1)的数值计算公式可以进一步表示为:

W(x,y,z)=∑i=m1m2∑j=n1n2H(x,y,z,ξi,ηj,ζ)·W(ξi,ηj,ζ),

其中:H(x,y,z,ξi,ηj,ζ)称为核函数,其值为

H(x,y,z,ξi,ηj,ζ)=ζ-z2πΔξiΔηj[(x-ξ)2+(y-η)2+(z-ζ)2]3/2,

而且必须满足关系式

∑i=m1m2∑j=n1n2H(x,y,z,ξi,ηj,ζ)=1.0,max{H(x,y,z,ξi,ηj,ζ)}<1.0。

现假设点距都为Δ,向上延拓的高度为k·Δ,则

max{H(x,y,z,ξi,ηj,ζ)}=k·Δ2πΔ2(k·Δ)3=12πk2,

由式(7)可以看出:k值越小,max{H(x,y,z,ξi,ηj,ζ)}值越大,延拓结果误差越大;当k值大于0.4时才能保证max{H(x,y,z,ξi,ηj,ζ)}的值小于1。解决的办法是通过加密点距,缩小延拓高度和点距的比值,减少数值计算带来的误差;或者改进数值计算方法来提高数值计算精度。例如:点距为2.0 km时向上延拓1.0 km的相对均方误差为55.43×10-3;利用Kriging插值成点距为1.0 km时向上延拓的相对均方误差为4.775 4×10-3,当插值成点距为0.5 km时的向上延拓相对均方误差为3.597 0×10-3。由此可以通过加密测点(减少点距)来提高延拓高度较小时的延拓结果精度。

频率域进行位场向上延拓时,随着延拓高度的增加,相对均方误差再增加;点距小的延拓结果相对均方误差小,点距大的延拓结果相对均方误差大。与空间域相比,当点距一定时延拓高度较小时延拓结果精度较高,但当延拓高度增加时延拓精度较低。

空间域和频率域的位场向下延拓结果与向上延拓结果的影响具有相似性。

2.6 位场延拓抗噪能力测试

测试向上延拓抗噪能力时,以z=0 km平面的重力异常,分别加5%,10%,15%,20%的随机噪声干扰,在空间域和频率域向上延拓到z=-2.0 km平面,计算其相对均方误差(图6a)。对于向下延拓,以z=-2.0 km平面的重力异常,分别加5%,10%,15%,20%的随机噪声干扰,在空间域和频率域向下延拓到z=0 km平面,计算其相对均方误差(图6b)。

图6

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图6   理论模型空间域和频率域位场延拓抗噪能力的相对误差分布

a—向上延拓2.0 km;b—在向下延拓2.0 km

Fig.6   Relative mean square error distribution maps of the theory model test on anti-noise ability in space and frequency domains

a—upward continuation distance is 2.0 km;b—downward continuation distance is 2.0 km


测试结果表明:随着噪声的增加,延拓结果的相对均方误差在增大,且频率域和空间域的抗噪能力基本相当,且噪声对向下延拓结果的影响很大。

3 实际资料测试结果

本次选用万安盆地的卫星测高重力异常数据(图7)进行实际资料延拓试验,重点测试数据点距大小和噪声大小对延拓结果的影响。在实际资料测试过程中,数据网格间距为2.0 km,采用最小曲率扩边,空间域延拓时窗口半径选80.0 km。

图7

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图7   万安盆地重力异常

Fig.7   Gravity anomaly map of Wan’an Basin


3.1 点距和延拓高度的测试

利用点距为2.0 km的重力数据向上延拓1.0 km和2.0 km。当向上延拓高度为1.0 km时,空间域位场延拓的结果不能使用,而频率域位场延拓结果如图8a所示;当向上延拓高度为2.0 km时,空间域和频率域的重力异常延拓结果稳定(图8b、8c)。当向下延拓高度为1.0 km时,空间域位场延拓的结果不能使用,而频率域位场延拓结果如图8d所示;当向下延拓高度为2.0 km时,空间域和频率域的重力异常延拓结果稳定(图8e、8f)。因此,通过实际资料验证了本文对点距对延拓高度的影响的结论是正确的。

图8

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图8   万安盆地重力异常点距对延拓结果的影响测试结果

a—频率域中向上延拓1.0 km;b—空间域中向上延拓2.0 km;c—频率域中向上延拓2.0 km;d—频率域中向下延拓1.0 km;e—空间域中向下延拓2.0 km;f—频率域向下延拓2.0 km

Fig.8   Different dot pitch influence continuation test results of Wan’an Basin’s gravity anomaly

a—upward continuation distance is 1.0 km in frequency domain; b—upward continuation distance is 2.0 km in space domain; c—upward continuation distance is 2.0 km in frequency domain; d—downward continuation distance is 1.0 km in frequency domain; e—downward continuation distance is 2.0 km in space domain; f—downward continuation distance is 2.0 km in frequency domain


3.2 抗噪能力的实际资料测试

对万安盆地的z=0 km平面的重力异常分别加5%,10%,15%和20%的随机噪声。分别在空间域和频率域向上延拓2.0 km和向下延拓2.0 km,并与无噪声延拓结果进行比较,计算其相对均方误差如图9所示。随着噪声的增大,延拓结果的精度在降低。比较空间域和频率域延拓结果的差异,空间域延拓的结果精度高于频率域,也就是空间域的抗噪能力比频率域强。

图9

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图9   实测资料空间域和频率域的抗噪能力测试

a—向上延拓2.0 km;b—向下延拓2.0 km

Fig.9   Measured data test of anti-noise ability in space and frequency domains

a—upward continuation distance is 2.0 km; b—downward continuation distance is 2.0 km


4 结论

本次由平面位场延拓公式出发,分析了影响平面位场延拓结果的影响因素:场源体埋深,剖面长度、扩边方法和窗口大小,点距大小以及延拓高度。影响最大的是测网数据点距和延拓高度,其次是剖面长度、扩边方法以及滑动窗口大小,场源体埋深的影响最小。通过模型测试和实际资料处理,分析了这些影响因素对位场延拓结果精度及稳定性的影响,得到如下几点认识:

1) 延拓高度和点距对位场延拓结果的精度影响最大。随着延拓高度的增加,延拓精度降低。空间域中位场延拓高度要大于1倍点距,若小于1倍点距,必须通过插值方法来加密,以便提高位场延拓结果的精度。频率域位场延拓时无此要求。当场源埋深较浅(位场梯度较大)时,点距一定要小;当场源埋深较大(位场梯度较大)时,点距可适当加大。

2) 对于同一延拓高度,测网的剖面长度越长,延拓结果的精度越高。因此在进行位场延拓时,可以采用扩边技术增大剖面长度,但不能过分扩边,以满足计算要求为准。

3) 为了提高计算效率,可以采用滑动窗口的方法。窗口大小无定论,但根据经验与延拓高度有关,一般可以选择窗口半径为延拓高度的20倍以上。

4) 随着噪声的增大,空间域和频率域的抗噪能力都在减弱,且空间域和频率域的抗噪能力基本相当。

The authors have declared that no competing interests exist.
作者已声明无竞争性利益关系。

参考文献

王邦华, 王理 .

重磁位场的正则化向下延拓

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传统的位场向下延拓方法，在下延至场源体顶面深度附近区域，位场将发生强烈的振荡效应，无法继续向下延拓，难以用空间位场特征确定场源体的深度等特征，当然更无法划分出垂向迭加体。本文讨论了一种新的正则化方法：利用引入位场频率，埋深与正则化因子等有关的校正函数。使得向下延拓过场源体时，场值不奇异。因此，可以达到场源体以下任意需要的深度。理论场和实测资料的正则化向下延拓成果表明，本方法能有效地反映出场源体的深度等特征，也能较准确地划分出具有垂向与水平迭加的单个场源体。

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[J]. 地球物理学报, 2004,47(6):1017-1022.

DOI:10.3321/j.issn:0001-5733.2004.06.013      URL     Magsci     [本文引用: 2]

首先介绍了空中重力异常向下延拓的直接代表法、正则化法、点质量法和基于球内Dirichlet问题的调和解法，分析了它们各自的特点.然后利用这些方法对中国大同航空重力测量数据进行向下延拓计算.通过对延拓结果与地面实测数据的比较分析，比较客观地评价了不同延拓方法的计算精度、可靠性及适应性.实际计算结果表明，直接代表法和正则化法的延拓结果具有较高的精度和可靠性，而球内Dirichlet问题调和解法的精度较差.

Wang X T, Xia Z R, Shi P , et al.

A Comparison of different downward continuation methods for airborne gravity data

[J]. Chinese J. Geophys., 2004,47(6):1017-1022

Magsci     [本文引用: 2]

陈生昌, 肖鹏飞 .

位场向下延拓的波数域广义逆算法

[J]. 地球物理学报, 2007,50(6):1816-1822.

DOI:10.3321/j.issn:0001-5733.2007.06.023      URL     Magsci     [本文引用: 1]

<FONT face=Verdana>位场向下延拓是位场数据处理和反演中的重要运算，但是它的不稳定性影响了它在许多处理和反演方法技术中的应用.本文通过把位场向下延拓视为向上延拓的反问题，得到向下延拓的褶积型线性积分方程，再利用Fourier变换矩阵的正交对称特性，并结合矩阵的奇异值分解和广义逆原理，提出了一种稳定的不需要进行求逆运算的位场向下延拓广义逆方法——波数域广义逆算法，解决了位场大深度向下延拓的不稳定性问题.把这种方法用于三维理论模型数据和实际磁场数据的向下延拓获得了理想的结果.</FONT>

Chen S C, Xiao P F .

Wavenumber domain generalized inverse algorithm for potential field downward continuation

[J]. Chinese J. Geophys, 2007,50(6):1816-1822.

Magsci     [本文引用: 1]

徐世浙 .

位场延拓的积分—迭代法

[J]. 地球物理学报, 2006,49(4):1176-1182.

DOI:10.3321/j.issn:0001-5733.2006.04.033      URL     Magsci     [本文引用: 1]

本文介绍一种新的位场延拓方法——积分-迭代法.将起伏面上的实测位场值，垂直投影至起伏面下部的一个水平面上，作为该水平面上的位场初始值.根据该水平面上的初始值，用积分方法计算起伏面上的位场值.用起伏面上的实测值与计算值的差值，对水平面上的位场值进行校正.如此反复迭代，直至起伏面上的实测值与计算值的差值小到可以忽略.有了水平面上的位场值后，就可以用积分的方法或其他方法计算水平面以上的任意曲面或水平面的位场值.该方法原理简单，不用解线性代数方程组，有较高的计算速度.它特别适用于位场向下延拓，有良好的延拓效果.本文还介绍了积分迭代法的应用实例.

Xu S Z .

The integral-iteration method for continuation of potential fields

[J]. Chinese J Geophys, 2006,49(4):1176-1182.

Magsci     [本文引用: 1]

徐世浙 .

位场大深度向下延拓

[J]. 物探与化探计算技术, 2006,28(s):29-31.

URL     [本文引用: 1]

用空间域的迭代法,在无噪声的模型研究中将向下延拓距离提高到20倍点距,大大超过频率域的快速傅里叶变换法(FFT)的下延深度.迭代法的基本思路是:将水平观测面上的实测位场值,垂直投影至下部的延拓水平面上,作为该水平面上的位场初始值.然后,用频率域或空间域的的方法向上延拓计算观测面上的位场值.用实测值与计算值的差值,对延拓面上的位场值进行校正.如此反复迭代,直至观测面上的实测值与计算值的差值,小到可以忽略.这种空间域的迭代法原理简单,不用解线性代数方程组,有很高的计算速度和良好的延拓效果.

Xu S Z .

A great depth downward continuation of potential field

Computing techniques for geophysical and geochemical exploration, 2006,28(s):29-31.

[本文引用: 1]

曾小牛, 李夕海, 韩绍卿 , 等.

位场向下延拓三种迭代方法之比较

[J]. 地球物理学进展, 2011,26(3):908-915.

DOI:10.3969/j.issn.1004-2903.2011.03.016      URL     Magsci     [本文引用: 1]

位场向下延拓在重磁资料解释和用于位场导航的基准数据库构建中发挥着重要作用.本文针对第一类Fredholm积分方程的三种空间域迭代解法:迭代Tikhonov正则化法、Landweber正则化迭代法和积分迭代法,基于算子理论和不适定问题的正则化处理方法,首先利用傅里叶变换将空间域迭代法变换到波数域,然后由数学归纳法推导得到这三种迭代法对应的波数域位场向下延拓算子;由Landweber迭代法和积分迭代法在迭代形式上的相似性,探讨了它们在位场向下延拓中的异同及各自优势.模型对比分析表明:(1)两种迭代正则化方法在正则化参数选择合适的条件下,其向下延拓的效果要明显优于积分迭代法,且当收敛到相同误差水平时,迭代Tikhonov正则化法在迭代次数上要远远小于Landweber迭代法,但迭代Tikhonov正则化方法存在对正则化参数敏感的问题;(2)从实际应用上讲,由于积分迭代法不存在正则化参数的选择问题,所以该迭代法具有较强的实用性,但需考虑其波数域向下延拓算子对噪声的放大效应.

Zeng X N, Li X H, Han S Q , et al.

A comparison of three iteration methods for downward continuation of potential fields

[J]. Progress in Geophys, 2011,26(3):908-915.

Magsci     [本文引用: 1]

陈龙伟, 徐世浙, 胡小平 , 等.

位场向下延拓的迭代最小二乘法

[J]. 地球物理学进展, 2011,26(3):894-901.

DOI:10.3969/j.issn.1004-2903.2011.03.014      URL     Magsci     [本文引用: 1]

将位场向下延拓作为一种反问题,结合正则化方法和快速傅里叶算法的优点,本文提出了一种解决位场向下延拓问题的迭代最小二乘法.新方法将位场向下延拓问题转化为最小二乘问题,采用梯度下降法对最小二乘问题进行迭代求解,在迭代过程中,利用快速傅里叶变换方法解决了计算量大的问题.新方法对延拓数据中的噪声具有很好的抑制作用.利用不含噪声和含有噪声的模型数据对新方法进行了验证,结果表明新方法快速、稳定、抗干扰能力强,向下延拓距离大.

Chen L W, Xu S Z, Hu X P , et al.

The iterative least square method for downward continuation of potential fields

[J]. Progress in Geophys, 2011,26(3):894-901.

Magsci     [本文引用: 1]

Dmitriev V I .

Iterative method for analytical continuation of the gravity field

[J]. Computational Mathematics and Modeling, 2012,23(1):67-73.

[本文引用: 1]

刘东甲, 洪天求, 贾海 , 等.

位场向下延拓的波数域迭代法及其收敛性

[J]. 地球物理学报, 2009,52(6):1599-1605.

DOI:10.3969/j.issn.0001-5733.2009.06.022      URL     Magsci     [本文引用: 1]

<FONT face=Verdana>提出了位场向下延拓的波数域迭代法. 对水平面上的位场观测值进行Fourier变换，得到其波谱. 根据第一类Fredholm积分方程的空间域迭代解法，推导出计算向下延拓水平面上位场波谱的波数域迭代公式. 在波数域中进行迭代，一直进行到相继两次迭代近似解的差值最大绝对值小于给定的精度，或迭代达到给定的最大迭代次数. 对这种迭代近似解进行Fourier逆变换，得到向下延拓的位场. 数值计算结果表明：与空间域迭代法比较，这种波数域迭代法简单、快速，并有同样好的向下延拓效果. 本文还证明了这种迭代法是收敛的，并给出了它的收敛特性和滤波特性.</FONT>

Liu D J, Hong T Q, Jia Z H , et al.

Wave number domain iteration method for downward continuation of Potential fields and its convergence.Chinese

[J]. Geophys.,, 2009,52(6):1599-1605.

Magsci     [本文引用: 1]

王彦国 .

位场数据处理的高精度方法研究及应用

[D].长春:吉林大学. 2013.

[本文引用: 1]

Wang Y G .

Study and application of high-precision methods in potential-field data processing

[D]. Changchun:Jilin University, 2013.

[本文引用: 1]

安玉林, 管志宁 .

滤除高频干扰的正则化稳定因子

[J]. 物探与化探计算技术, 1985,7(1):13-23.

URL     [本文引用: 2]

本文根据苏联学者A.H.吉洪诺夫和B.H.阿尔先宁《不适定问题的解法》一书中第六章的普遍原理,提出了一种滤除高频干扰的正则化稳定因子。该种正则化稳定因子具有理想低通滤波特征。特别是它们包含着高频干扰的最小波数这一参数,使其具有较强的适应性与灵活性,这是与以往类似滤波器的最主要区别。为验证稳定因子滤除高频干扰的有效性,给出了应用实例。

An Y L, Guan Z N .

The regularized stable factors of removing high frequency disturbances

[J]. Computing Techniques for Geophysical and Geochemical exploration, 1985,7(1):13-23.

[本文引用: 2]

姚长利, 李宏伟, 郑元满 , 等.

重磁位场转换计算中迭代法的综合分析与研究

[J]. 地球物理学报, 2012,55(6):2062-2078.

DOI:10.6038/j.issn.0001-5733.2012.06.028      URL     Magsci     [本文引用: 1]

处理转换计算在重磁资料解释中发挥着重要的作用,但一些计算如向下延拓、化极等有时是很不稳定的,在频率域中则表现为其转换因子具有明显的放大作用,所以其FFT理论计算结果是不稳定的.因此,很多研究工作都是围绕增加计算的稳定性、提高计算效果进行的,其中迭代法是近来在研究中受到普遍重视的方法技术,并取得了较好的成果.但也存在对迭代法研究还不够深入,对其存在的缺点认识不够充分、客观等问题,例如,迭代法进行延拓及化极等计算时,对一些具体应用虽能在一定程度上获得较好的计算结果,但却存在计算结果并不会随着迭代次数的增加而得到持续改善的问题,对于原本不稳定的计算,迭代法在迭代次数比较大时,所得的结果依然是不稳定的.为此,本文在对迭代法进行分析研究的基础上,进一步推导了迭代法的通式,并分析了对迭代法收敛性影响的各种因素.分析结果表明:迭代法收敛到FFT理论直接计算结果的决定因素是计算过程中如何选择原始数据到目标数据的映射函数;在选择了合适的映射函数的情况下,迭代次数不仅仅是决定计算成本,而是决定结果好坏的关键因素;增加迭代次数虽然能够使计算收敛到FFT直接计算理论结果,但如果该理论结果本身就是不稳定的,则迭代法计算如果收敛,也是收敛到一个不稳定的结果.所以针对位场处理转换中一些不稳定计算采用迭代法,并没有从根本上解决计算的不稳定性问题.

Yao C L, Li H W, Zhen Y M , et al.

Research on iteration method using in potential field transformation

[J]. Chinese J. Geophys., 2012,55(6):2062-2078.

Magsci     [本文引用: 1]

吴姿颖, 邓居智, 王彦国 , 等.

重力向下延拓的迭代法对比分析研究

[J]. 物探与化探计算技术, 2018,40(2):189-196

DOI:10.3969/j.issn.1001-1749.2018.02.08      URL     [本文引用: 1]

向下延拓是位场数据处理和解释的基本方法,但其不适定性导致计算结果稳定性差.近年来,迭代法在提高向下延拓计算稳定性和计算精度方面上的优势备受重视.为比较各种迭代法的优缺点,对积分迭代法、泰勒级数迭代法和补偿法进行了对比分析研究.在模型试算的基础上,将三种方法应用到了江西相山铀矿田重力数据处理之中.研究表明,三种迭代法的迭代通式具有较强的相似性,只是选取的初始滤波算子不同,但初值滤波算子选取的合理性直接决定着迭代法对低频成分的转换能力和高频成分的压制能力.补偿法在向下延拓计算中具有更高的计算精度和更强的计算稳定性,因此选择补偿法具有更好的实际应用价值.

Wu Z Y, Den J Z, Wang Y G , et al.

Comparative analysis on the iterative methods for downward continuation of gravity field

[J]. Computing Techniques for Geophysical and Geochemical Exploration, 2018,40(2):189-196.

[本文引用: 1]

栾文贵 .

位场解析延拓的稳定化算法

[J]. 地球物理学报, 1983,26(3):263-274.

DOI:      URL     Magsci     [本文引用: 1]

本文讨论场位解析延拓的稳定化算法。首先叙述问题的古典提法,并且为以后作准备,将它化成另一类不适定问题。接着建立问题解的连续依赖性估计。然后根据这个估计式,将问题化成求解一个条件变分问题。最后利用正则化方法解这个变分问题,得到问题解的一个稳定化的计算公式。

Luan W G .

The stabilized algorithm of the analytic continuation for the potential field

[J]. Chinese J. Geophys., 1983,26(3):263-274.

Magsci     [本文引用: 1]

毛小平, 吴蓉元, 曲赞 .

频率域位场下延的振荡机制及消除方法

[J]. 石油地球物理勘探, 1998,33(2):230-237.

DOI:10.1109/ISIC.1999.796628      URL     Magsci     [本文引用: 1]

频率域中位场延拓及转换已在重磁场处理中得到了广泛的应用。但位场下延、求高阶导数时出现的振荡问题一直没有得到很好的解决。目前比较一致的认识是浅层异常源是导致下延振荡的唯一原因。事实上，当我们将原位场进行分场处理后，对深源场（不含浅层常源）进行下延时，仍出现较大的振荡。针对该问题。本文分析了位场下延的一些特殊性，认为核问题的根本原因在于有限长剖面的傅氏变换的截断误差产生类似于浅源异常的假频干扰，为此提出了串联匹配滤波器向下延拓的解决办法。通过向下延拓便可获得既无假频干扰信号，又不损失有效信号的高保真向下延拓位场。

Mao X P, Wu R Y, Qu Z .

Oscillation mechanism of potential field downward continuation in frequency domain and its elimination

[J]. OGP, 1998,33(2):230-237.

Magsci     [本文引用: 1]

张辉, 陈龙伟, 任治新 , 等.

位场向下延拓迭代法收敛性分析及稳健向下延拓方法研究

[J]. 地球物理学报, 2009,52(4):1107-1113.

DOI:10.3969/j.issn.0001-5733.2009.04.028      URL     Magsci     [本文引用: 1]

<FONT face=Verdana>地磁导航作为一种新的无源导航方式，具有重要的国防意义.构建空间地磁数据库是实现地磁导航的基础，位场延拓是解决地磁数据库构建的有效方法.积分-迭代法是一种解决位场大深度向下延拓的实用方法.本文着重对积分-迭代法的收敛性进行了分析，从数学角度证明积分-迭代法能够收敛到直接下延法理论解.同时对积分-迭代法的抗干扰性进行了初步分析，当观测数据含有噪声时，积分-迭代过程中使得噪声得到累加，影响延拓数据的精度.本文利用正则化方法和递增型维纳滤波方法，提出了波数域位场向下延拓新算法.模型检验表明，新算法稳定、抗干扰能力强、计算速度快.</FONT>

Zhang H, Chen L W, Ren Z X , et al.

Analysis on convergence of iteration method for potential fields downward continuation and research on robust downward continuation method

[J]. Chinese J. Geophys., 2009,52(4):1107-1113.

Magsci     [本文引用: 1]

于波, 翟国君, 刘燕春 , 等.

噪声对磁场向下延拓迭代法的计算误差影响分析

[J]. 地球物理学报, 2009,52(8):2182-2188.

DOI:10.3969/j.issn.0001-5733.2009.08.029      URL     Magsci     [本文引用: 1]

<FONT face=Verdana>磁场向下延拓可以增强数据的分辨率.在现有的向下延拓方法中，迭代法具有较好的计算效果和较大的向下延拓高度.首先介绍了迭代法的基本原理，分析迭代法的特点；然后利用迭代法对不同噪声水平的模型数据和实测数据进行向下延拓计算，研究噪声对迭代法的计算误差影响.通过延拓结果和实际数据比较分析，客观评价了迭代法的计算精度、可靠性及适应性，对推广应用该方法具有实质性意义.</FONT>

Yu B, Zhai G J. Liu Y C , et al.

Analysis of noise effect on the calculation error of downward continuation with iteration Method

[J]. Chinese J. Geophys., 2009,52(8):2182-2188.

Magsci     [本文引用: 1]

陆正立 .

频率域向上延拓的误差分析

[J]. 桂林冶金地质学院学报, 1981,( 1):62-68.

URL     [本文引用: 1]

本文叙述频率域滤波误差产生的一般原因,并具体分析频率域向上延拓时产生的误差和为了减小和避免这些误差,对剖面长度、取样间隔应有的要求。

Lu Z L .

Error analysis of upward continuation in frequency domain

[J]. Journal of Guilin Institute of Metallurgical Geology, 1981,( 1):62-68.

[本文引用: 1]

熊光楚 .

在地球物理测量的数据处理中值得进一步研究的一些问题

[J]. 物探与化探, 1985,9(2):100-107.

URL     Magsci     [本文引用: 1]

<p>根据近年来地球物理勘探中数据处理的实践经验,作者认为在地球物理勘探数据处理中起码有八个问题值得作进一步研究。它们是:专用标志的研究;专用滤波器的研究;从综合异常中分层次提取信息方法的研究;地形改正方法的研究;计算方法误差的研究;有限长及离散数据对变换的影响及避免和消除这些影响的方法研究;原始数据中的误差对变换结果的影响以及变换结果的图示问题。作者通过一些实例对这八个问题分别作了论述。</p>

Xiong G C .

Some problems worthy of further study in geophysical data processing

[J]. Geophysical and Geochemical Exploration, 1985,9(2):100-107.

Magsci     [本文引用: 1]

熊光楚 .

矿产预测中重磁异常变换的若干问题——二、向上延拓的作用及问题

[J]. 物探与化探, 1992,16(5):358-455.

URL     Magsci     [本文引用: 1]

正在矿产预测中,对大面积观测的重磁数据作向上延拓处理,似乎已是一种例行作法。但在作向上延拓处理时,究竟延拓几种高度?具体的高度是多少?倒是值得研究和探讨的问题。有一位野外队的同志打算对 10000 km2的数据作向上延拓,并准备从 0．5 km到 50 km,共延拓七个高度。他问我这样作是否合适?

Xiong G Z .

Some problems in the transformation of gravity and magnetic anomalies in mineral prediction -two.The role and problems of upward continuation

[J]. Geophysical and Geochemical Exploration, 1992,16(5):358-455.

Magsci     [本文引用: 1]

王建明 .

重磁异常变换中的延拓问题

[J].新疆有色金属, 2006(2):11-16.

URL     [本文引用: 1]

在做向上延拓处理时，究竟延拓有几种高度？具体的高度是多少？是值得研究和探讨的问题，本文就向上廷拓的物理意义，物体埋深对物体重、磁异常特点的影响，向上延拓的作用及向上延拓计算中存在的问题等方面，进行简单的讨论。

Wang J M .

Continuation in the transformation of gravity and magnetic anomalies

[J].Xinjiang Nonferrous Metals, 2006(2):11-16.

[本文引用: 1]

曾华霖 . 重力场与重力勘探[M]. 北京: 地质出版社, 2004.

[本文引用: 1]

Zemg H L. Gravity field and gravity exploration[M]. Beijing: Geological Publishing Press, 2004.

[本文引用: 1]

王万银, 邱之云, 刘金兰 , 等.

位场数据处理中的最小曲率扩边和补空方法研究

[J]. 地球物理学进展, 2009,24(4):1327-1338.

DOI:10.3969/j.issn.1004-2903.2009.04.022      URL     Magsci     [本文引用: 1]

<FONT face=Verdana>在频率域中进行位场数据的各种处理和转换时必须对网格数据进行扩边或补空处理，而扩边和补空结果的精度直接影响到位场数据处理和转换结果的精度.本文提出了一种精度较高的位场数据扩边和补空方法——最小曲率方法，给出了该方法的迭代格式，讨论了相关的技术措施.理论模型的补空试验表明，最小曲率方法补空结果的精度高于余弦方法7倍以上；而扩边和补空结果对位场数据处理和转换结果精度的影响试验表明，最小曲率方法比余弦方法平均提高2倍以上，甚至可以达到一个数量级.将最小曲率方法应用到实际资料的扩边和补空计算表明，最小曲率方法明显优于余弦方法.上述研究表明最小曲率扩边和补空方法效果好、精度高，可用于任何连续且光滑的数据的扩边和补空计算.</FONT>

Wang W Y, Qiu Z Y, Liu J L , et al.

There research to the extending edge and interpolation based on the minimum curvature method in potential field data processing

[J]. Progress in Geophys., 2009,24(4):1327-1338.

Magsci     [本文引用: 1]

马国庆, 孟令顺, 杜小娟 , 等.

磁法数据处理中的扩边和优化中值滤波方法的研究

[J]. 物探与化探计算技术, 2010,32(2):194-199.

DOI:10.3969/j.issn.1001-1749.2010.02.016      URL    

依据地质体在地面上引起磁异常的特点，提出了三方向扩边方法，这种方法能够减小边界效应，使 处理结果更可靠。在实际的测量中，磁法数据受外界的干扰比较大，干扰因素给数据处理和资料解释工作带来了影响。首次将中值滤波技术引入到磁法数据处理中， 提出了一种新的滤波方法，即优化中值滤波方法，来解决这个问题，并给出了优化中值滤波的模型以及计算公式。最后利用优化中值滤波方法对实际磁测数据进行处 理，取得了较好的效果。

Ma G Q, Meng L S, Du X J , et al.

The study of edge expansion and optim ization median filtering method in magnetic data processing

[J]. Computing Techniques for Geophysical and Geochemical Exploration, 2010,32(2):194-199.

张志厚, 徐世浙, 余海龙 , 等.

位场向下延拓的迭代法的扩边方法

[J]. 浙江大学学报, 2013,47(5):918-924.

DOI:10.3785/j.issn.1008-973X.2013.05.027      URL    

为了研究位场向下延拓的迭代法的扩边方法,分析位场向下延拓的迭代法的波数域因子Φn与单位脉冲函数的关系,在空间域迭代法实质上是一系列单位脉冲函数在系统F-1(Φn)作用下的线性代数和.理论分析得出扩边点数适当即可,大深度延拓相对需要扩更多的点,扩边的好坏会影响到延拓结果的精度,并使用理论模型进行检验.同时也利用理论模型试验对区域场扩边、三方向扩边、余弦扩边和最小曲率扩边进行对比,结果表明,最小曲率扩边的延拓结果精度是其他扩边的延拓结果精度1～3倍以上,效果好.

Zhang Z H, Xu S Z, Yu H L , et al.

Study of extending methods of iteration of downward continuation in potential field

[J]. Journal of Zhejiang University, 2013,47(5):918-924.

段本春, 徐世浙 .

重磁局部场区域场分量处理中的扩边方法研究

[J]. 物探与化探计算技术, 1997,19(4):298-304.

[本文引用: 1]

Duan B C, Xu S Z , et al.

A study of the scheme of extending in the processing of separating local field from regional field for magnetic/gravity anomaly

[J]. Computing Techniques for Geophysical and Geochemical Exploration, 1997,19(4):298-304

[本文引用: 1]

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