遗传算法模仿了遗传进化的原理, 并引用了随机概率理论, 其基本计算过程为^[23]:

1)将遗传算法的对象用一定的编码表示, 如二进制编码、实数编码、符号串编码等。

2)产生由若干个个体组成的初始群体, 准备必要的初始数据。

3)对运算群体每个个体进行遗传算法的基本运算, 如选择运算、 交叉运算、变异运算等产生新的运算群体。

4)计算运算群体每个个体的适应度函数值。

5)根据适应度函数进行判断, 如果满足要求就寻优结束, 否则再转向步3。

遗传算法具有较强的全局搜索能力, 但其局部搜索能力相对较弱, 而非线性规划具有很强的局部搜索能力, 因此结合两种算法的优点, 将非线性规划中的惩罚函数法作为一个与选择、交叉、变异平行的算子加入到一种实数编码的遗传算法中, 该方法将原约束优化问题中的等式和不等式约束函数加权处理后与原目标函数结合, 得到新的目标函数(惩罚函数)。原问题转化为新的无约束优化问题, 求解该新的无约束优化问题, 间接得到原约束优化问题的最优解^{[24, 25, 26]}。惩罚函数法分为内点惩罚函数法、外点惩罚函数法以及乘子法。本文采用内点惩罚函数法, 其计算步骤如下^[20]:

1)给定初始内点x⁽⁰⁾, 允许误差ε > 0, 初始参数r₁, 缩小系数β ∈ (0, 1), 置k=1。

2)构造函数B(x)= ∑i=1m1gi(x)及目标函数 G_rk(x)=F(x)+r_kB(x), 采用共轭方向, 以x^k-1为初始点求解minG_rk(x), 设求得的极小点为x^(k)。

3)若r_kB(x^(k))< ε 则停止计算, 得到点x^(k); 否则, 令r_k+1=β r_k, 置k=k+1, 返回步骤2。

结合遗传算法的原理和非线性规划的寻优方法, 形成非线性规划遗传算法(图1), 其计算步骤为:

1)参数赋值、编码;

2)初始化种群;

3)计算适应度值;

4)遗传算子操作。对运算群体每个个体进行选择运算、交叉运算、变异运算;

图1

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	图1 非线性规划遗传算法(NPGA)的流程

5)非线性规划寻优。当遗传算法进化代数为N的整数倍后, 以所得到的结果为初始值搜索约束条件下的非线性函数的最小值;

6)计算运算群体每个个体的适应度函数值;

7)根据适应度函数进行判断, 如果满足要求就寻优结束, 否则再转向步骤3。

表2给出了二层地电模型的参数及NPGA算法的反演结果。反演中种群规模取为60, 最大进化代数为30, 交叉概率和变异概率分别取为0.6和 0.01。反演时模型参数设置如下:各层电阻率分别为100、10 Ω · m; 第一层厚度为100 m, 第二层厚度为无穷。反演模型参数的取值范围为理论模型参数的± 50%, 图4为半空间条件下由理论模型参数正演计算的感应电动势和非线性规划遗传算法反演结果正演计算值的对比以及反演目标函数的收敛曲线。

从表2和图4可以看出, 非线性规划的遗传算法得到的反演结果与真实值基本一致, 反演结果相对误差绝对值最大为7.076%, 且两者的感应电动势拟合程度也非常好, 证明了反演算法的有效性。

表2

表2

表2 二层(D型)地电模型反演结果 模型参数 理论值 取值范围 反演结果 相对误差/% ρ 1/(Ω · m) 100 [50, 150] 105.012 5.012 ρ 2/(Ω · m) 10 [5, 15] 9.999 -0.001 h1/m 100 [50, 150] 92.924 -7.076 反演进化代数为30, 反演拟合差为9.3368e-6

表2 二层(D型)地电模型反演结果

图4

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	图4 D型地电模型NPGA正反演对比

表3给出了三层地电模型的参数及NPGA的反演结果。反演中种群规模取为60, 最大进化代数为30, 交叉概率和变异概率分别取为0.6和0.01。反演时模型参数设置如下:各层电阻率分别为100、10、100 Ω · m; 第一、二层厚度分别为100、200 m, 第三层厚度为无穷。反演模型参数的取值范围为理论模型参数的± 50%, 图5为半空间条件下由理论模型参数正演计算的感应电动势和非线性规划遗传算法反演结果正演计算值的对比以及反演目标函数的收敛曲线。从表3和图5可以看出, 反演结果相对误差绝对值最大为7.305%, NPGA算法得到的反演结果拟合情况良好。

表3

表3

表3 三层(H型)地电模型反演结果 模型参数 理论值 取值范围 反演结果 相对误差/% ρ 1/(Ω · m) 100 [50, 150] 100.133 0.133 ρ 2/(Ω · m) 10 [5, 15] 9.966 -0.034 ρ 3/(Ω · m) 100 [50, 150] 103.450 3.450 h1/m 100 [50, 150] 92.695 -7.305 h2/m 200 [100, 300] 199.198 -0.401 反演进化代数为30, 反演拟合差为1.8059e-4

表3 三层(H型)地电模型反演结果

图5

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	图5 H型地电模型NPGA正反演对比

对四层(KH型)地电模型瞬变电磁测深数据进行了非线性规划遗传算法反演, 表4给出了四层(KH型)地电模型的参数及NPGA算法反演的结果。反演中种群规模取为60, 最大进化代数为30, 交叉概率和变异概率分别取为0.6和0.01。反演时模型参数设置如下:各层电阻率分别为100、200、50、200 Ω · m; 第一、二、三层厚度分别为100、200、500 m, 第四层厚度为无穷。反演模型参数的取值范围为理论模型参数的± 50%, 图6为半空间条件下由理论模型参数正演计算的感应电动势和非线性规划遗传算法反演结果正演计算值的对比以及反演目标函数的收敛曲线。

表4

表4

表4 四层(KH型)地电模型反演结果 模型参数 理论值 取值范围 反演结果 相对误差/% ρ 1/(Ω · m) 100 [50, 150] 90.688 -9.312 ρ 2/(Ω · m) 200 [100, 300] 203.410 1.705 ρ 3/(Ω · m) 50 [50, 150] 51.351 2.702 ρ 4/(Ω · m) 200 [100, 300] 216.346 8.173 h1/m 100 [50, 150] 96.367 -3.633 h2/m 200 [100, 300] 196.050 -1.975 h3/m 500 [250, 750] 516.932 3.386 反演进化代数为30, 反演拟合差为4.2763e-3

表4 四层(KH型)地电模型反演结果

图6

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	图6 KH型地电模型NPGA正反演对比

从表4和图6可以看出, 非线性规划遗传算法得到的反演结果与真实值基本一致, 反演结果相对误差绝对值最大为9.312%, 两者的感应电动势拟合程度也依然较好, 进一步证实了NPGA算法具有较好的全局寻优能力。

为了进一步测试本文的NPGA算法对TEM数据反演的有效性, 对五层(KHK型)地电模型瞬变电磁测深数据进行了非线性规划遗传算法反演, 表5给出了五层(KHK型)地电模型的参数及NPGA算法反演结果。反演中种群规模取为60, 最大进化代数为30, 交叉概率和变异概率分别取为0.6和 0.01。反演时模型参数设置如下:各层电阻率分别为100、300、50、200、30 Ω · m; 第一、二、三层厚度分别为100、200、300、500 m, 第五层厚度为无穷。反演模型参数的取值范围为理论模型参数的± 50%, 图7为半空间条件下由理论模型参数正演计算的感应电动势和非线性规划遗传算法反演结果正演计算值的对比以及反演目标函数的收敛曲线。

从表5和图7可以看出, 随着模型的参数增多, 相应反演难度加大, 但NPGA算法得到的反演结果与真实值基本一致, 反演结果相对误差绝对值最大为6.211%, 反演效果的稳定性较好, 且两者的感应电动势拟合程度也依然较好, 反演结果进一步证明了该反演算法的有效性。

表5

表5

表5 五层(KHK型)地电模型反演结果 模型参数 理论值 取值范围 反演结果 相对误差/% ρ 1/(Ω · m) 100 [50, 150] 93.789 -6.211 ρ 2/(Ω · m) 300 [150, 450] 299.976 -0.008 ρ 3/(Ω · m) 50 [50, 150] 49.513 -0.974 ρ 4/(Ω · m) 200 [100, 300] 207.859 3.930 ρ 5/(Ω · m) 30 [15, 45] 30.925 3.083 h1/m 100 [50, 150] 99.309 -0.691 h2/m 200 [100, 300] 201.010 0.505 h3/m 300 [150, 450] 291.301 -2.900 h4/m 500 [250, 750] 483.152 -3.370 反演进化代数为30, 反演拟合差为1.3800e-3

表5 五层(KHK型)地电模型反演结果

图7

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	图7 KHK型地电模型NPGA正反演对比